En \mathbb{R}^{2} el entorno de puntoP_{0}(x_{0},y_{0}) y de radio \delta es el conjunto de puntos ubicados en el interior de un círculo de centro P_{0} y radio \delta. En clase, al entorno lo vimo como Bola, así que vamos a usar la B para representarlo.
Punto
Consideramos como punto a cualquier vector del plano o el espacio que tenga origen en el \vec{O}.
Bola abierta
Es el conjunto de puntos ubicados en un círculo de radio \delta alrededor de un punto P_{0}.
B(P_{0},\delta)=\left\{(x,y) \;/\; 0\leq \sqrt[]{(x-x_{0})^2-(y-y_{0})^2}<\delta,\delta \in \mathbb{R}^{}\right\}
Otra notación mas facil de entender es la siguiente:
B(P_{0},\delta)=\left|P-P_{0}\right|<\delta,\delta \in \mathbb{R}^{}
Que podemos interpretar como: la bola abierta B(P_{0},\delta) es el conjunto de todos los puntos P cuya distancia a P_{0} es menor a \delta, siendo \delta el radio de un círculo alrededor del punto P_{0}.
Bola abierta reducida
Es lo mismo que la bola abierta, solo que ahora el punto P_{0} no está incluído en el conjunto de puntos.
La denotamos como B_{0} y su ecuación es la siguiente:
B_{0}(P_{0},\delta)=0<\left|P-P_{0}\right|<\delta,\delta \in \mathbb{R}^{}
Bola cerrada
Es el conjunto de puntos alrededor del punto P_{0} que cumplen que su distancia es \leq \delta. La denotamos como \overline{B}.
\overline{B}(P_{0},\delta)=\left|P-P_{0}\right|\leq \delta,\delta \in \mathbb{R}^{}
Tipos de puntos
Dados un punto P cualquiera y un conjunto no vacío A de números definimos:
Punto interior
Un punto P_{0} es interior de un conjunto A si existe una bola abierta alrededor de P_{0} que esté totalmente contenida en A.
P_{0} \text{ es punto interior} \iff \exists B(P_{0}) \subset A
Punto de acumulación
Cuando toda bola abierta reducida alrededor de un punto P_{0} contiene puntos de A.
P_{0} \text{ es punto de acumulación de } A \iff \forall B_{0}(P_{0},\delta): \exists P \;/\; P \in B_{0}(P_{0},\delta) \land P \in A
Punto aislado
Cuando existe una bola abierta alrededor del punto P_{0} cuya intersección con A es el mismo punto.
P_{0}\text{ es un punto aislado } \iff \exists B(P_{0}) \;/\; B(P_{0}) \cap A=P_{0}
Nota: Fijarse que P_{0} \in A. si bien es un punto que está separado del resto de los puntos de A, sigue formando parte de ese conjunto.
Punto exterior
Este es lo mismo que el anterior, pero ahora P_{0} \notin A.
P_{0}\text{ es punto exterior } \iff \exists B(P_{0}) \;/\; B(P_{0}) \cap A= \left\{\varnothing\right\}
Punto frontera
Si hay una bola alrededor de un punto P_{0} que contiene tanto puntos que pertenecen a A, como puntos que no pertenecen a A.
P_{0}\text{ es punto frontera } \iff \forall B(P_{0})=\begin{cases}
\exists P_{1} \in B(P_{0}) \land P_{1} \in A \\
\exists P_{2} \in B(P_{0}) \land P_{2} \notin A
\end{cases}
Frontera de un conjunto
Es el conjunto de todos los puntos frontera de un conjunto A.
Conjuntos
Conjunto abierto
Es un conjunto cuyos puntos son todos interiores. No hay puntos frontera.
Conjunto cerrado
Es un conjunto que contiene todos sus puntos de acumulación, es decir, contiene sus puntos interiores y contiene sus puntos frontera.
Conjunto acotado
Es un conjunto para el cual es posible hallar un valor M que es mayor que el módulo de cualquier punto P_{0} de A.
M \in \mathbb{R}^{+} \;/\; \left|P_{0}\right|<M,\forall P_{0} \in A
Tambien lo podemos escribir de la siguiente forma
\forall P_{0} \in A: \exists M \in \mathbb{R}^{+} \;/\; \left|P_{0}\right|<M
Complemento de un conjunto
El complemento de un conjunto A es el conjunto que contiene todos los elementos del conjunto universal de A que no pertenecen a A.
Conjunto conexo
Un conjunto es conexo si cualquier par de puntos del conjunto puede ser unido por un camino formado por sementos de recta contenidos en A.
Conjunto simplemente conexo
Es cuando cualquier curva cerrada contenida en el conjunto tiene su interior totalmente contenido en el conjunto.
Funciones
Existen varios tipos de funciones. Nosotros hasta ahora veníamos trabajando con funciones de una sola variable. Estas funciones se llaman funciones escalares, ya que son de la forma f:\mathbb{R}^{} \to \mathbb{R}^{}.
Pero existen otros tres tipos de funciones:
Funciones de varias variables que devuelven un escalar: Se llaman campos escalares y son de la forma f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{}. La palabra campo se usa porque ahora estamos hablando de regiones del espacio: el argumento de la función ya no es un escalar, sino que es un vector de dimensión n, y ese vector pertenece al campo, o el espacio, \mathbb{R}^{n}.
Una función de este estilo se vería como f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=y, con y \in \mathbb{R}^{}.
Funciones de una sola variable que devuleven vectores: Se llaman funciones vectoriales y son de la forma f:\mathbb{R}^{} \to \mathbb{R}^{m}.
Un ejemplo de una función vectorial sería f(x)=(y_{1}, y_{2}, \dots , y_{n}), con x \in \mathbb{R}^{}
Funciones de varias variables que devuelven vectores: Se llaman campos vectoriales y son de la forma f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}.
Un campo vectorial se escribe así f(x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n})=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}).
Otra forma que se suele usar bastante, especialmente cuando empecemos a usar matrices es la forma f(x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}) = (f_{1}(x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}), f_{2}(x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}), \dots ,f_{m}(x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n})). Esta forma es literalmente lo mismo que la anterior solo que está escrito distinto, pero en realidad y_{1} = f_{1}(x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}), lo mismo para y_{2} y lo mismo para todos los y que hayan del lado izquierdo.
Funciones implícitas y explícitas
Esto también ya lo vimos en análisis pero está bueno recordarlo. Las funciones con las que vamos a trabajar, vamos a ver que pueden estar representadas de dos maneras distintas.
Función explícita
Una función se dice que está dada en su forma explícita cuando la variable dependiente está despejada, y la función está expresada directamente en términos de la/s variables independientes.
Por ejemplo, supongamos que tenemos una función escalar f:\mathbb{R}^{} \to \mathbb{R}^{}. La función está dada en su forma explícita si está escrita de la forma f(x)=y.
Otro ejemplo podría ser si tenemos el campo escalar g:\mathbb{R}^{5} \to \mathbb{R}^{}. Si g está escrita como g(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5})=y, entonces está dada en su forma explícita.
Función implícita
Una función se dice que está dada de forma implícita cuando la variable dependiente no está despejada.
Por ejemplo, supongamos que tenemos una función f:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{} \;/\; f = x^2 + 2y - 3z. Esta función está dada en su forma implícita, ya que la variable z, que es la variable dependiente no está despejada en la ecuación de la función.
Las funciones implícitas las vamos a usar un montón, Y ENTRA SÍ O SÍ EN EL PARCIAL.
Hay veces, como en el ejemplo anterior, que es fácil hacer el pasaje de una función dada en su forma implícita a su forma explícita. Lo único que hay que hacer es despejar z y listo. En el ejemplo anterior, la función f escrita en su forma explícita sería f(x,y)=\frac{x^2+2y}{3}. Pero hay muchas otras veces, y va a pasar en el parcial que nos dan una función implícita y es literalmente imposible despejar la variable dependiente. En ese caso hay que trabajar con la función implícita nomas, pero ya lo vamos a ver cuando lleguemos. Por ahora solo hay que saber que existen.
Líneas o Curvas de Nivel
Una curva de nivel para una función z=f(x,y) es el conjunto de todos los puntos (x,y) en los que la función toma el mismo valor f(x,y)=k, con k \in \mathbb{R}^{}.
Una función z=f(x,y) es un campo escalar f:\mathbb{R}^{2} \to R que describe una superficie. Por ejemplo, la función z=f(x,y)=x^2+y^2 es la ecuación de un paraboloide circular que tiene su vertice en el origen de coordenadas. Si nosotros decimos ahora que z=4 (por tirar un número), la función queda como x^2+y^2=4, y eso es la ecuación de una circunferencia de radio 2. Entonces, el conjunto de todos los puntos que forman una circunferencia de radio 2, con centro en el origen, es la curva de nivel de f(x,y)=4.
Podemos pensar la curva de nivel como la proyección de la superficie en f(x,y)=k sobre el plano xy.
Código
import numpy as npimport plotly.graph_objects as go# Superficie: z = f(x,y)x = np.linspace(-2, 2, 20)y = np.linspace(-2, 2, 20)x, y = np.meshgrid(x, y)z = x**2+ y**2# Curva de nivel f(x,y)=4theta = np.linspace(0, 2* np.pi, 200)x_curva =2* np.cos(theta)y_curva =2* np.sin(theta)z_curva = np.full_like(theta, 4)z_proy = np.full_like(theta, 0) # para la proyección sobre el plano xyfig = go.Figure()# Grafico la superficiefig.add_trace(go.Surface(x=x, y=y, z=z, colorscale="Viridis", opacity=0.5, showscale=False))# Grafico la curva de nivel sobre la superficiefig.add_trace(go.Scatter3d( x=x_curva, y=y_curva, z=z_curva, mode="lines", line=dict(color="blue", width=4), name="Curva de nivel"))# Grafico la proyección de la curva de nivel sobre el plano xyfig.add_trace(go.Scatter3d( x=x_curva, y=y_curva, z=z_proy, mode="lines", line=dict(color="black", width=4), name="Proyección de la curva de nivel"))# Ajusto la imagen del gráficofig.update_layout( scene=dict(aspectmode="cube"))
Superficies de nivel
En el caso de funciones de 3 variables independientes, osea campos escalares que van de f:\mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{}, podemos definir superficies de nivel.
Para una función w=f(x,y,z), una superficie de nivel es el conjunto de todos los puntos (x,y,z) en los que la función toma el mismo valor f(x,y,z)=k, con k \in \mathbb{R}^{}.
En este caso no podemos hacer un gráfico como el anterior ya que al tener una función de 3 variables, necesitamos 4 dimensiones para graficarla. Lo que sí podemos hacer es graficar la superficie de nivel.
Incrementos de una función
Cuando hablamos de incrementos de una función, hacemos referencia a cómo varía la función al desplazarnos en las distintas direcciones.
Figura 1: Incrementos de una función (adaptado de Monllor (2015, 14))
En la Figura 1 podemos ver que la curva MN, que es la intersección de la superficie z=f(x,y) y el plano y=cte, vemos que si nos movemos sobre ella, z varía solo en función de x.
Si nos movemos en el eje x una distancia \Delta x, la variación de z es lo que se conoce como incremento parcial de z respecto de x y lo denotamos como \Delta_{x} z (es el segmento \overline{NN_{1}} de la Figura 1).
\Delta_{x} z = f(x + \Delta x, y) - f(x,y)
Si en cambio, consideramos a x=cte y nos vamos moviendo sobre el eje y, la variación de z es el incremento parcial de z respecto de y y lo denotamos como \Delta_{y} z (es el segmento \overline{TT_{1}})
\Delta_{x} z = f(x, y + \Delta y) - f(x,y)
Por último, si incrementamos simultaneamente a x en \Delta x y a y en \Delta y, obtenemos el incremento total de la función, lo denotamos como \Delta z (segmento \overline{QQ_{1}})
\Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x,y)
\tag{1}
Límites
Ahora ya sabemos todo lo que hay que saber para poder empezar a estudiar las funciones de análisis 2.
Definición
Dada una función z=f(x,y), se define el límite de esa función cuadno P(x,y) tiende a P_{0}(x_{0},y_{0}) de la siguiente manera:
El límite de f(x,y) es igual a L si, para cualquier número \varepsilon>0 existe un número \delta>0 tal que, si la distancia del punto P(x,y) a P_{0}(x_{0},y_{0}) es menor a \delta, entonces la distancia entre f(x,y) y L es menor a \varepsilon, con P(x,y)\neq P_{0}(x_{0},y_{0})
\lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0})}f(x,y)=L \iff \forall \varepsilon>0: \exists \delta>0 \;/\; 0<\lVert(x,y)-(x_{0},y_{0})\rVert<\delta \implies \left|f(x,y)-L\right|<\varepsilon
Volvamos un toque a análisis I. Cuando estudiabamos límites y queríamos saber si existía o no el límite de la función y=f(x) cuando x tiende a x_{0}, lo que hacíamos era calcular el límite por los dos únicos caminos que habían para llegar a ese punto x_{0}: por la izquierda y por la derecha. Si el límite por izquierda era igual al límite por derecha, entonces podíamos decir que el límite de la función existía en ese punto.
Para las funciones de dos variables podemos decir lo mismo. Si queremos calcular el límite de z=f(x,y) cuando un punto P(x,y) tiende a P_{0}(x_{0},y_{0}), y podemos demostrar que el límite acercándonos por cualquier camino a P_{0} es L, entonces podemos decir que ese límite existe. El problema está en que, como ahora tenemos dos variables, los caminos por los que nos podemos acercar a P_{0} son infinitos, y es imposible calcular el límite de todos esos caminos para ver si nos dan igual.
Una opción sería calcular el límite por definición, pero eso es muy complicado así que lo descartamos.
Lo primero que conviene hacer siempre que nos den un límite es fijarnos si al reemplazar (x,y) por (x_{0},y_{0}) podemos llegar a un resultado (igual que como hacíamos en análisis I). Si al reemplazar obtenemos un número, quiere decir que el límite existe y es ese número. Si llegamos a una indeterminación vamos a tener que arreglarnosla.
Ejemplos
Calcular el límite cuando (x,y) tiene a (3,1) de la función f(x,y)=xy-y^2
Reemplazamos (x,y) en f(x,y) y resolvemos
\lim_{(x,y) \to (3,1)}\left(xy-y^2\right)=3\cdot 1 - 1^2 = 2
El límite existe y es L=2.
Calcular el límite cuando (x,y) \to (0,0) de f(x,y)=\frac{\sin^{}(3xy)}{x}
Primero reemplazamos y vemos si obtenemos un número
\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{\sin^{}(3xy)}{x}=\frac{3\cdot 0\cdot 0}{0}=\frac{0}{0}
Como llegamos a una indeterminación, primero nos fijamos si la podemos salvar. La lógica es la misma que cuando trabajabamos con funciones escalares.
\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{\sin^{}(3xy)}{x}=\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{3y\sin^{}(3xy)}{3xy}=\left(\lim_{(x,y) \to (0,0)}3y\right)\cdot \left(\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{\sin^{}(3xy)}{3xy}\right)=0\cdot 1=0
Como pudimos salvar la indeterminación, el límite existe y es igual a L=0.
Si resulta que cuando reemplazamos (x,y) llegamos a una indeterminación que no se puede salvar, la única opción que nos queda para saber si existe el límite es calcularlo por definición. Pero como dijimos, eso es muy complicado así que lo descartamos.
No vamos a poder saber si existe el límite en estos casos, pero lo que sí podemos demostrar es que no existe. Si somos capaces de demostrar que acercándonos por dos caminos distintos al punto P_{0}, el límite no es igual, entonces queda demostrado que el límite en ese punto no existe. Vamos a ver dos formas de hacer esto: usando límites iterados y límites radiales.
OJO IGUAL, si no podemos encontrar esos dos caminos que nos den distintos límites, no quiere decir que el límite existe ya que hay infinitos caminos y no podemos estar 100% seguros de que uno no va a dar distinto.
Límites iterados
Podemos calcular los límites de una función siguiendo trayectorias particulares, denominadas Trayectorias escalonadas. Estas trayectorias están constituidas por rectas paralelas a los ejes cartesianos y el método consiste en calcular los límites en un punto P_{0}, partiendo de P y pasando una vez por P_{1}; después hacemos lo mismo, pero esta vez pasando por P_{2}. De esta manera, podemos comparar los resultados y fijarnos: si los dos límites nos dieron distinto, quiere decir que el límite de esa fnción en el punto P_{0} no existe.
OJO! Si nos dan igual ya dijimos que no quiere decir que existe el límite. Simplemente significa que esas trayectorias nos dan el mismo resultado, pero existen infinitas mas que pueden dar distinto.
Código
import matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.axisartist.axislines import AxesZero# Esto me lo copié de https://matplotlib.org/stable/gallery/axisartist/demo_axisline_style.html#sphx-glr-gallery-axisartist-demo-axisline-style-pyfig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(axes_class=AxesZero)for direction in ["xzero", "yzero"]:# adds arrows at the ends of each axis ax.axis[direction].set_axisline_style("-|>")# adds X and Y-axis from the origin ax.axis[direction].set_visible(True)for direction in ["left", "right", "bottom", "top"]:# hides borders ax.axis[direction].set_visible(False)# Agrego lineaslabel_p1 ="Camino por $P_{1}$: $\\lim_{y \\to y_{0}}\\left[\\lim_{x \\to x_{0}}f(x,y)\\right]$"label_p2 ="Camino por $P_{2}$: $\\lim_{x \\to x_{0}}\\left[\\lim_{y \\to y_{0}}f(x,y)\\right]$"camino_p1, = ax.plot([1, 4, 4], [1, 1, 4], color="green", label=label_p1)camino_p2, = ax.plot([1, 1, 4], [1, 4, 4], color="red", label=label_p2)ax.plot([1, 1], [0, 1], linestyle="--", color="gray")ax.plot([4, 4], [0, 1], linestyle="--", color="gray")ax.plot([0, 1], [1, 1], linestyle="--", color="gray")ax.plot([0, 1], [4, 4], linestyle="--", color="gray")# Agrego los puntosax.plot(1, 1, "o", color="blue")ax.plot(4, 1, "o", color="blue")ax.plot(1, 4, "o", color="blue")ax.plot(4, 4, "o", color="blue")# Agrego las etiquetas de los puntosax.text(1, 1, "$P$" , fontsize=12, ha="right", va="bottom")ax.text(4, 1, "$P_{1}$", fontsize=12, ha="left", va="bottom")ax.text(1, 4, "$P_{2}$", fontsize=12, ha="right", va="bottom")ax.text(4, 4, "$P_{0}$", fontsize=12, ha="left", va="bottom")# Límites de los ejesax.set_xlim(-1, 5)ax.set_ylim(-1, 5)# Labels de los ejesax.set_xticks([])ax.set_yticks([])ax.text(-0.2, 5, "$y$", fontsize=12)ax.text(-0.2, 1, "$y$", fontsize=12)ax.text(-0.2, 4, "$y_{0}$", fontsize=12)ax.text(5, -0.3, "$x$", fontsize=12)ax.text(1, -0.3, "$x$", fontsize=12)ax.text(4, -0.3, "$x_{0}$", fontsize=12)# Agrego leyendasfig.legend(loc="upper right", fontsize=12)# Mostrar el gráficoplt.show()
Figura 2: Límites iterados (adapatado de Monllor (2015, 17))
Ejemplo
Dada z=\frac{2x^2+y^3}{3x^2 - y^3}, calcular el límite en el punto P_{0}(0,0):
\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{2x^2 + y^3}{3x^2 - y^3}
Lo primero que hacemos es reemplazar (x,y) por (0,0) en la función. En este caso vamos a llegar a una indeterminación que no podemos salvar, así que podemos calcular los límites iterados para fijarnos si las dos trayectorias nos dan distintos valores de límites.
\begin{aligned}
\lim_{y \to 0}\left[\lim_{x \to 0}\frac{2x^2 + y^3}{3x^2 - y^3}\right] &= \lim_{y \to 0}\left[\frac{0+y^3}{0-y^3}\right] = \lim_{y \to 0} (-1) = -1\\
\lim_{x \to 0}\left[\lim_{y \to 0}\frac{2x^2 + y^3}{3x^2 - y^3}\right] &= \lim_{x \to 0}\left[\frac{2x^2 + 0}{3x^2 - 0}\right] = \lim_{x \to 0}\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}
\end{aligned}
Vemos que las dos trayectorias nos dieron distintos resultados, así que podemos afirmar que el límite de f(x,y) en el punto P_{0}(0,0) no existe.
Límites radiales
Otra estrategia que podemos tomar es calcular los límites radiales. Esta estrategia consiste en calcular el límite siguiendo las trayectorias del haz de rectas que pasan por el punto P_{0}(x_{0},y_{0}). De esta manera, todas las rectas que pasan por el punto P_{0} las podemos escribir de la forma r:(y-y_{0}) = m(x-x_{0}).
Código
# Esto me lo copié de https://matplotlib.org/stable/gallery/axisartist/demo_axisline_style.html#sphx-glr-gallery-axisartist-demo-axisline-style-pyfig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(axes_class=AxesZero)for direction in ["xzero", "yzero"]:# adds arrows at the ends of each axis ax.axis[direction].set_axisline_style("-|>")# adds X and Y-axis from the origin ax.axis[direction].set_visible(True)for direction in ["left", "right", "bottom", "top"]:# hides borders ax.axis[direction].set_visible(False)# Dibujo las rectas que pasan por el punto P0x0, y0 =2, 2for angulo in np.linspace(0, 2*np.pi, 10, endpoint=False) + np.pi/24: x_end = x0 + np.cos(angulo) y_end = y0 + np.sin(angulo) ax.plot([x_end, x0], [y_end, y0], color="black", linewidth=1)# Dibujo las lineas punteadasax.plot([2, 2], [0, 2], linestyle="--", color="gray")ax.plot([0, 2], [2, 2], linestyle="--", color="gray")# Dibujo el punto P0ax.plot(x0, y0, "o", color="blue")# Límites de los ejesax.set_xlim(-0.5, 4)ax.set_ylim(-0.5, 4)# Labels de los ejesax.set_xticks([])ax.set_yticks([])ax.text(-0.2, 4, "$y$", fontsize=12)ax.text(-0.2, 2, "$y_{0}$", fontsize=12)ax.text(4, -0.3, "$x$", fontsize=12)ax.text(2, -0.3, "$x_{0}$", fontsize=12)plt.show()
Figura 3: Límites radiales (adaptado de Monllor (2015, 18))
Con este método, si L queda en función de m significa que va a tener un límite distinto para cada trayectoria, osea que no existe el límite en ese punto.
Ejemplo
Dada z=\frac{2xy}{3x^2-y^2}, calcular el límite de z en el punto P_{0}(0,0).
\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{2xy}{3x^2 - y^2}
De nuevo, lo primero que hacemos es reemplazar (x,y) en la función por (0,0). En este caso nos queda una indeterminación así que vamos a calcular los límites radiales para intentar demostrar que no existe el límite.
La idea de usar los límites radiales es que podemos expresar las infinitas rectas con dirección radial que pasan por el punto P_{0} de la forma r:y-y_{0}=m(x-x_{0}). En este caso, nuestro punto es P_{0}(0,0) así que la ecuación de r es y-0=m(x-0), que es lo mismo que y=mx.
Y ahora, tenemos una expresión de y en función de x, así que podemos reemplazar y en la función del límite y escribirlo de la siguiente forma.
\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{2xy}{3x^2 - y^2} = \lim_{x \to 0}\frac{2x(mx)}{3x^2-(mx)^2}
Nos quedó un límite que depende solo de x
\lim_{x \to 0}\frac{2xmx}{3x^2-(mx)^2}=\lim_{x \to 0}\frac{2x^2m}{x^2(3-m^2)}=\frac{2m}{3-m^2}
El resultado de límite nos quedó en función de m, así que podemos afirmar que no existe el límite para esa función en el punto P_{0}(0,0)
Veamos un último ejemplo
Ejemplo
Dada z=\frac{2x^2y}{x^4+3y^2}, calcular el límite de la función en el punto P_{0}(0,0)
\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{2x^2y}{x^4+3y^2}
Si reemplazamos vamos a tener una indeterminación, así que veamos qué pasa si calculamos los límites iterados
\begin{aligned}
\lim_{y \to 0}\left[\lim_{x \to 0}\frac{2x^2y}{x^4+3y^2}\right] &= 0\\
\lim_{x \to 0}\left[\lim_{y \to 0}\frac{2x^2y}{x^4+3y^2}\right] &= 0
\end{aligned}
Los dos límites nos dieron igual, así que el método no nos sirve para demostrar que el límite no existe.
Recordemos que esto no quiere decir que existe el límite y que es L=0, porque hay infinitos caminos para llegar a P_{0} y alguno puede dar distinto.
Calculemos los límites radiales entonces.
Como el punto es el (0,0), la ecuación de r es y=mx, así que reemplazamos y en la ecuación.
\lim_{x \to 0}\frac{2x^2(mx)}{x^4+(mx)^2} = \lim_{x \to 0}\frac{x^2(2mx)}{x^2(x^2+3m^2} = \lim_{x \to 0}\frac{2mx}{x^2+3m^2}=0
Este límite también nos volvió a dar cero, pero de vuelta, esto no significa que el límite de la función es L=0. Simplemente este método no sirve para demostrar la no existencia del límite. Si llegamos a este punto en realidad no hay mucho que podamos hacer ya que las posibilidades son infinitas, pero a modo de demostración, vamos a ver que si nos acercamos al punto P_{0} con una parábola, el límite nos va a dar distinto así que vamos a poder afirmar que el límite no existe. Porque todas las trayectorias deben dar el mismo valor del límite, con que exista una (en este caso la parábola) que nos de distinto, ya es suficiente para afirmar la no existencia.
Para acercarnos a P_{0} por una parábola decimos que y=x^2, y reemplazamos en la ecuación del límite.
\lim_{x \to 0}\frac{2x^2(x^2)}{x^4+(x^2)^2} = \lim_{x \to 0}\frac{2x^4}{x^4+3x^4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
Ahora podemos ver que el límite nos dió distinto en una de las trayectorias, así que dicho límite no existe.
Continuidad
Es lo mismo que en análisis I.
Definición
Sea la función z=f(x,y) y P_{0}(x_{0},y_{0}), se dice que z es continua en P_{0} si:
\lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0})}f(x,y)=f(x_{0},y_{0})
Para que se cumpla esto se tienen que cumplir tres condiciones básicas:
Que el límite exista para P(x,y) \to P_{0}(x_{0},y_{0})
Que la función esté definida en P_{0}(x_{0},y_{0})
Que el límite de la función sea igual al valor de la función en P_{0}(x_{0},y_{0})
Si la igualdad no se cumple en P_{0} quiere decir que este es un punto de discontinuidad.
Si no existe el límite en ese punto, la discontinuidad es esencial.
Si existe el límite, pero la función no es continua, la discontinuidad es evitable. Lo que se hace es redefinir la función para que sea continua.
Derivadas parciales
Dada una función z=f(x,y) de dos variables independientes que describe a una superficie S, y dado un plano vertical \pi:y=y_{0}, la intersección de la superficie S con el plano \pi describe una curva que tiene la forma de z=f(x,y_{0}) (Figura 4) Si nos movemos a través del plano \pi, la variable y se mantiene constante por lo que podemos considerar que la única variable de la función es x. Entonces, ahora podemos derivar la función como si fuese una función de una única variable x. Estaríamos entonces calculando la derivada parcial de \mathbf{f(x,y)} con respecto a \mathbf{x}, que se expresa así:
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta xf(x,y)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x}
Otras formas de escribir la derivada parcial son las siguientes:
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} = z^{\prime}_{x} = f_{x}(x,y)
La que mas le gusta a Moni es la ultima f_{x}(x,y).
Lo mismo podemos hacer con la variable y ahora. Mantenemos a x constante y derivamos para obtener la derivada parcial respecto de \mathbf{y}.
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0}\frac{\Delta yf(x,y)}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x, y + \Delta y) - f(x,y)}{\Delta y}
Para calcular estas derivadas hacemos lo mismo que veníamos siempre, solo que ahora hay que tener en cuenta que si estamos haciendo la derivada parcial respecto de x, la variable y es una constante y la tenemos que tratar como tal.
En los ejemplos que siguen voy a tratar de usar todas las notaciones distintas que existen de las derivadas parciales solo para aclarar que todas significan lo mismo. Siempre está bueno conocer todas las formas que hay de expresarlas porque cada autor usa la que mas le gusta, y mas adelante algunas definiciones usan una expresión u otra, pero todas significan lo mismo.
Ejemplo
Calcular las derivadas parciales de la función z=y^3\cos^{}(x).
Calculemos primero la derivada parcial respecto de x. Tenemos que considerar a y como una constante.
f_{x}(x,y) = -y^3\sin^{}(x)
Ahora calculemos la derivada parcial respecto de y. Consideramos que x es una constante ahora.
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = 3y^2\cos^{}(x)
Ejemplo
Calcular las derivadas parciales de la función z=3x^2y-y^2 en el punto P(1,2).
Calculemos ahora primero la derivada parcial respecto de y.
\frac{\partial z}{\partial y} = 3x^2 - 2y
Como nos piden calcular la derivada en el punto P(1,2), reemplazamos (x,y) por (1,2) en la ecuación de la derivada
f_{y}(1,2) = 3\cdot 1^2 - 2\cdot 2 = -1
Ahora calculemos la derivada parcial respecto de x.
z_{x} = 6xy
Y nos piden calcularla en el punto P(1,2) así que reemplazamos
\frac{\partial f(1,2)}{\partial x}=6\cdot 1\cdot 2 = 12
Interpretación geométrica de las derivadas parciales
Consideremos a la función z=4-x^2-2y^2 y busquemos sus derivadas parciales en el punto P_{0}(1,1).
\begin{aligned}
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = -2x && \frac{\partial f(1,1)}{\partial x} = -2\\
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = -4y && \frac{\partial f(1,1)}{\partial y} = -4
\end{aligned}
Si miramos la Figura 4, podemos ver que cuando hacemos la derivada parcial respecto de x, nos estamos moviendo sobre el plano y=1, y la derivada parcial es la pendiente de la recta tangente a la curva generada por la intersección de la función z con ese plano y=1.
Lo mismo podemos ver cuando hacemos la derivada parcial respecto de y, solo que ahora nos movemos sobre el plano x=1 y la derivada parcial es la pendiente de la recta tangente a la curva generada por la intersección de la función z con ese plano x=1.
Figura 4: Interpretación geométrica de la derivada parcial (adaptado de James (2012, 915))
Derivabilidad de una función
Una función de varias variables es derivable en un punto si es continua en ese punto.
Derivadas parciales sucesivas
Al igual que con las derivadas normales, una derivada parcial la podemos derivar cuantas veces queramos obteniendo derivadas parciales segundas, terceras, etc., con respecto a cada una de las variables consideradas.
Por ejemplo, podemos tener una función z=f(x,y) y su derivada primera respecto de x es \frac{\partial z}{\partial x}. Y a esta función derivada, la podemos volver a derivar respecto de x pero también respecto de y si quisieramos. Si la derivamos respecto de x obtenemos \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, y si la derivamos respecto de y nos queda \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}. Lo mismo podemos hacer con la derivada parcial respecto de y. Pero todo esto se ve mas claro con un ejemplo.
Ejemplo
Calcular las derivadas de segundo orden de la función z=x^4\sin^{}(5y).
Calculemos primero las derivadas de primer orden
\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial x} &= 4x^3\sin^{}(5y)\\
\frac{\partial z}{\partial y} &= 5x^4\cos^{}(5y)
\end{aligned}
Ambas derivadas pueden ser derivadas nuevamente para obtener las derivadas parciales de segundo orden:
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &= \frac{\partial \left[4x^3\sin^{}(5y)\right]}{\partial x} = 12x^2\sin^{}(5y)\\
\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} &= \frac{\partial \left[4x^3\sin^{}(5y)\right]}{\partial y} = 20x^3\cos^{}(5y)\\
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} &= \frac{\partial \left[5x^4\cos^{}(5y)\right]}{\partial y} = -25x^4\sin^{}(5y)\\
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial \left[5x^4\cos^{}(5y)\right]}{\partial x} = 20x^3\cos^{}(5y)\\
\end{aligned}
Podríamos seguir derivando las derivadas de segundo orden para obtener las de tercer orden, y luego podríamos derivar esas de tercer orden y así sucesivamente. Pero por suerte el ejercicio nos pide solo las de segundo orden.
En el ejemplo podemos ver que las derivadas parciales sucesivas no son todas distintas. Las derivadas parciales \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} y \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} nos dieron el mismo resultado. Esto no fue ninguna coincidencia, hay un teorema que dice lo siguiente:
“Si las derivadas sucesivas a calcular son continuas, el orden de derivación no altera la derivada, siempre que la cantidad de veces que se derive respecto a cada variable sea la misma.”
En otras palabras, si derivamos primero respecto a x y luego respecto a y (o en el orden inverso), siempre que todas las derivadas sean continuas y hayamos derivado tantas veces respecto a x como respecto a y, el resultado será el mismo.
Expresiones matriciales de las derivadas
Suele ser útil expresar las derivadas de las funciones en su forma matricial. Así, dada una función f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{} podemos expresar las derivadas de f con una matriz fila. Esta matriz se denota Df:
Df(x_{1}, \dots , x_{n}) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f}{\partial x_{n}}
\end{bmatrix}
Ejemplo
Armar la expresión matricial de las derivadas de primer orden de la función z=x^2 + 2xy^3 - \cos^{}(y).
Como tenemos dos variables independientes, nuestra matriz va a tener dos columnas. Cada columna es la derivada respecto de cada variable
\begin{aligned}
f_{x}(x,y) = 2x + 2y^3 && f_{y}(x,y) = 6xy^2 + \sin^{}(y)
\end{aligned}
Así que la matriz derivada es la siguiente
Df(x,y)=\begin{bmatrix}
2x + 2y^3 & 6xy^2 + \sin^{}(y)
\end{bmatrix}
Para el caso general en que f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}, la matriz derivada va a tener m filas y n columnas, Df \in \mathbb{R}^{m\times n}. Antes de ver esta matriz estaría bueno volver a leer la parte de campos vectoriales en la Sección 3 para entender bien la notación de la matriz que sigue.
Df(\vec{x})=\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}
\end{bmatrix}
Ejemplo
Obtener la matriz derivada del campo vectorial f(x,y)=(2x^2 + e^{3x - y}, sin(3x + y^2)).
Nuestra matriz va a ser de dos filas por dos columnas porque la imagen son los vectores de dimensión 2 (filas) y el dominio son vectores de dimensión 2 también (columnas).
Para armar esta matriz, tenemos que derivar cada componente del vector imagen respecto a cada una de las variables. A las componentes del vector las llamamos f_{i}(x,y), donde 1\leq i\leq m. En este caso tenemos que f_{1}(x,y)=2x^2+e^{3x-y}, y f_{2}(x,y)=\sin^{}(3x+y^2).
La matríz entonces sería así
Df(x,y) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x} & \frac{\partial f_{1}}{\partial y}\\[0.3cm]
\frac{\partial f_{2}}{\partial x} & \frac{\partial f_{2}}{\partial y}
\end{bmatrix}
Entonces la matriz derivada nos queda así
Df(x,y)=\begin{bmatrix}
4x + 3e^{3x-y} && -e^{3x-y}\\
3\cos^{}(3x+y^2) && 2y\cos^{}(3x+y^2)
\end{bmatrix}
Cuando estemos trabajando con funciones de \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{} (que al final van a ser las funciones con las que mas vamos a trabajar este año), podemos definir una matriz derivada para las segundas derivdas de la función. Esta matriz lleva el nombre de matriz Hessiana, se denota como Hf y va a ser muy útil durante la cursada.
Hf(x,y)=\begin{bmatrix}
f_{xx} & f_{xy} \\
f_{yx} & f_{yy}
\end{bmatrix}
Ejemplo
Obtener la matriz derivada de segundo orden de la función z=e^{3x+y}-x^2y+2y.
Primero buscamos las primeras derivadas parciales para poder calcular las segundas derivadas.
\begin{aligned}
f_{x}(x,y) = 3e^{3x+y}-2xy && f_{y}(x,y)=e^{3x+y}-x^2+2
\end{aligned}
Y ya tenemos todo para armar la matriz
Hf(x,y)=\begin{bmatrix}
9e^{3x+y}-2y & 3e^{3x+y}-2x\\
3e^{3x+y}-2x & e^{3x+y}
\end{bmatrix}
Diferencial
Acá viene un tema importante. Creo que lo mejor para entenderlo bien del todo es volver a análisis I y trabajar con funciones de \mathbb{R}^{} \to \mathbb{R}^{}. Una vez que entendamos bien qué es el diferencial ahí, vamos a pasar a estudiarlo en funciones de \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}.
La notación diferencial en realidad la venimos viendo hace un montón pero nunca supimos de dónde venía ni qué significaba. La veíamos por ejemplo cuando estudiabamos derivadas, que podiamos expresarla como \frac{dy}{dx}, donde y=f(x). también la veíamos en las integrales de la forma \int_{}^{} f(x) \,dx. Esto lo tomabamos que solo era una notación, pero en realidad no, dx y dy son dos variables que tiene la propiedad de que cuando su razón existe, esta es igual a la derivada.
Definición
Diferencial en funciones escalares
Sea y=f(x) una función derivable. La diferencial dx es una variable independiente. La diferencial dy es
dy = f^{\prime}(x)dx
Como dx es una variable independiente, nosotros le podemos dar el valor que se nos cante. El valor de dy por otro lado, depende tanto del valor que le demos a la variable dx como del valor que le demos a la variable x.
Sé que esto no nos dijo nada todavía, pero sigamos estudiandolo para tratar de entender el diferencial.
Interpretación geométrica del diferencial
En la siguiente figura podemos ver gráficamente a qué llamamos dx y dy.
Figura 5: Imagen sacada de George B. Thomas (2010, 42). Interpretación geométrica del diferencial.
En la Figura 5 podemos ver que \Delta L es el cambio en y de la recta tangente a la curva cuando x cambia de x=a a x=a+dx. Y en el gráfico dice que \Delta L=f^{\prime}(a)dx, que habíamos dicho en la definición anterior que eso era dy. Esta igualdad \Delta L = dy la podemos comprobar de la siguiente manera:
\begin{aligned}
\Delta L &= L(a+dx) - L(a)\\
\Delta L &= \underbrace{f(a) + f^{\prime}(a)\left[(a+dx)-a\right]}_{L(a+dx)} - \underbrace{f(a)}_{L(a)}\\
\Delta L &= f^{\prime}(a)dx
\end{aligned}
Entonces \Delta L = dy representa la magnitud que se eleva o desciende la recta tangente cuando x cambia en una cantidad dx=\Delta x.
Si dx\neq 0, entonces el cociente de la diferencial dy entre la diferencial dx es la pendiente de la recta L que es tangente a la función, y “oh sorpresa”, la pendiente de la recta tangente a una función es su derivada. Acabamos de llegar a que f^{\prime}(x)=\frac{dy}{dx}.
Ejemplo
Calcular el diferencial dy de la ecuación f(x)=3x^2-6.
Usamos la fórmula del diferencial que nos dice que dy=f^{\prime}(x)dx
f^{\prime}(x)=6x \text{, así que } dy=6xdx
Estimacíon con diferenciales
Nota
Acá me mezclaba al principio así que vamos a hacer un par de aclaraciones.
dx=\Delta x es la distancia que nos movemos en el eje x.
\Delta y es lo que varía la funciónf(x) si nos movemos una distancia \Delta x=dx sobre el eje x. La variación \Delta y se calcula como cualquier variación: punto final menos punto inicial
\Delta y = f(a+\Delta x) - f(a)
dy\neq \Delta y. Lo digo en palabras: dyno es lo mismo que\Delta y.
\Delta y es lo que varía la función cuando nos movemos una distancia dx.
dy es lo que varía la recta tangente a la función cuando nos movemos una distancia dx.
Lo que sí podemos decir, y de hecho lo podemos ver en la Figura 5, es que si dx es muy chiquito, el valor de dy es aproximadamente igual al de \Delta y. Pero siguen sin ser el mismo.
Ahora sí, empecemos con las estimaciones. También se les puede decir aproximación.
Supongamos que conocemos el valor de una función derivable y=f(x) en un punto a y necesitamos estimar cuánto cambiará el valor si nos movemos una distancia dx=\Delta x. Es decir, necesitamos estimar cuánto cambiará el valor al calcular f(a+dx).
Si la distancia dx es pequeña, podemos decir que \Delta y es aproximadamente igual (solo aproximadamente) a dy.
Sabemos que \Delta y=f(a+dx)-f(a), y si reordenamos la ecuación nos queda que f(a+dx)=f(a)-\Delta y. Ahora, recién dijimos que si dx era muy chiquito podíamos decir que el valor de \Delta y era aproximadamente igual al de dy así que podemos decir lo siguiente:
f(a+dx) = f(a)+\Delta y \implies f(a+dx)\approx f(a)+dy
De esta manera, como ya conocemos la fórmula para calcular dy, podemos estimar el valor de f(a+dx) cuando conocemos el valor de f(a) y dx es muy pequeño.
Diferencial en funciones de varias variables
Ahora sí, ya estamos listos para estudiar el diferencial en funciones de varias variables.
Cuando trabajabamos recién con funciones escalares dijimos que el diferencial dy (siendo y la variable dependiente) era la variación de la recta tangente a la curva y=f(x) en un punto a cuando nos moviamos una distancia dx.
Ahora vamos a trabajar con campos escalares de \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{}, de manera que vamos a tener 2 variables independientes (generalmente x e y) y una variable dependiente z.
Como tenemos dos variables independientes, vamos a poder definir dos rectas tangentes (en vez de una sola) a una superficie (en vez de una curva) en un punto P_{0}(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})).
Entonces, tenemos un punto de la superficie y dos rectas tangentes a dicha superficie, por lo que podemos armar la ecuación del plano que es tangente a la superficie en el punto P_{0}. Vamos a decir que, en una bola alrededor del punto P_{0}, este plano es una buena aproximación a la función z=f(x,y) cuando el radio de la bola tiende a cero.
El diferencial de la función z=f(x,y) va a ser la variación del plano tangente a la superficie en un punto P_{0}(x_{0}, y_{0}, f(x_{0}, y_{0})) al movernos una distancia dx=\Delta x en el eje x y dy=\Delta y en el eje y.
Podemos deducir la ecuación del diferencial de una función z=f(x,y) utilizando la ecuación general del plano y teniendo en cuenta que estamos buscando un plano tangente a la superficie en un punto P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}).
La ecuación general de un plano que pasa por P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) es
A(x-x_{0}) + B(y-y_{0}) + C(z-z_{0})=0
Como nosotros queremos saber cuánto varía este plano en el eje z, podemos reordenar la ecuación de la siguiente forma
\begin{aligned}
-C(z-z_{0}) &= A(x-x_{0}) + B(y-y_{0})\\
z-z_{0} &= \frac{A}{-C}(x-x_{0}) + \frac{B}{-C}(y-y_{0})
\end{aligned}
Ahora podemos decir que \frac{A}{-C}=a y que \frac{B}{-C}=b para obtener
z-z_{0}=a(x-x_{0}) + b(y-y_{0})
Bien, ya tenemos entonces la ecuación del plano tangente a la superficie, al que vamos a nombrar \pi. Esta ecuación representa lo que llamamos diferencial total de z, denotado como dz. Aunque dz no es el cambio real \Delta z=f(x+dx, y+dy)-f(x,y), se dice que es una buena aproximación cuando dx y dy son pequeños. En otras palabras, el plano tangente a la superficie representa una aproximación lineal al comportamiento de la función z=f(x,y) en un entorno cercano al punto P_{0}(x_{0},y_{0}).
Cabe aclarar que para que una función sea diferenciable en un punto P_{0}, debe existir un plano tangente a la función en P_{0}. Esto quiere decir que la función debe ser continua en P_{0} y no debe tener dobleces, esquinas o picos en la gráfica. En otras palabras, la gráfica de la función debe ser suave.
Podemos decir entonces que
dz=a(x-x_{0}) + b(y-y_{0})
Nos queda saber cuánto valen a y b, así que sigamos analizando. ¿Qué datos conocemos del plano \pi? Sabemos que es tangente a la superficie z=f(x,y) en el punto P_{0}(x_{0}, y_{0}). Esto quiere decir que la pendiente de este plano en el eje x es la misma que la de la recta tangente a la curva generada por la intersección de la superficie con el plano x=x_{0}. Osea, que la pendiente de \pi en el eje x es f_{x}(x_{0},y_{0}). Lo mismo pasa con la pendiente en y del plano, es igual a f_{y}(x_{0},y_{0}). Estos son los valores de a y b, respectivamente.
La ecuación del diferencial de z nos queda entonces así:
dz=f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})
y como \Delta x = dx y \Delta y = dy, podemos decir
dz=f_{x}(x_{0},y_{0})dx + f_{y}(x_{0},y_{0})dy
\tag{2}
Código
x = np.linspace(0, 2, 20)y = np.linspace(0, np.sqrt(2), 20)x, y = np.meshgrid(x, y)z =4- x**2-2*y**2fig = go.Figure()# Superficiefig.add_trace(go.Surface(x=x, y=y, z=z, colorscale="Viridis", opacity=0.6, showscale=False))# Plano tangente a la superficie en (1, 1, f(1, 1))a =-2b =-4c =7x = np.linspace(0, 3, 20)y = np.linspace(0, 2, 20)x, y = np.meshgrid(x, y)z = a*x + b*y + cfig.add_trace(go.Surface( x=x, y=y, z=z, colorscale=[[0, "yellow"], [1, "plum"]], opacity=0.5, visible=True, showscale=False))# Plano derivada parcial yy = np.linspace(0, 2, 300)z = np.linspace(0, 4, 300)y, z = np.meshgrid(y, z)x = np.ones_like(y)# Mask es para que el plano quede contenido dentro de la superficiemask = z <=4-1**2-2*y**2mask_x = np.where(mask, x, np.nan)mask_y = np.where(mask, y, np.nan)mask_z = np.where(mask, z, np.nan)fig.add_trace(go.Surface(x=mask_x, y=mask_y, z=mask_z, colorscale=[[0, "paleturquoise"], [1, "paleturquoise"]], opacity=0.8, showscale=False, visible=False))# Intersección Superficie con Plano derivada parcial yx =1y = np.linspace(0, np.sqrt(2), 20)z =4- x**2-2*y**2x_vals = np.full_like(y, x)fig.add_trace(go.Scatter3d(x=x_vals, y=y, z=z, mode="lines", line=dict(color="red"), visible=False, name="Curva intersección"))# Recta derivada parcial en yx0, y0 =1, 1z0 =4- x0**2-2*y0**2df_dy =-4*y0y = np.linspace(0, 2, 20)x = np.full_like(y, 1)z = z0 + df_dy*(y - y0)fig.add_trace(go.Scatter3d( x=x, y=y, z=z, mode="lines", line=dict(color="cyan"), name="Derivada parcial respecto de y", visible=False,))# Plano derivada parcial xx = np.linspace(0, 3, 300)z = np.linspace(0, 4, 300)y, z = np.meshgrid(x, z)y = np.ones_like(x)# Mask es para que el plano quede contenido dentro de la superficiemask = z <=4- x**2-2*1**2mask_x = np.where(mask, x, np.nan)mask_y = np.where(mask, y, np.nan)mask_z = np.where(mask, z, np.nan)fig.add_trace(go.Surface(x=mask_x, y=mask_y, z=mask_z, colorscale=[[0, "paleturquoise"], [1, "paleturquoise"]], opacity=0.8, showscale=False, visible=True))# Intersección Superficie con Plano derivada parcial xy =1x = np.linspace(0, np.sqrt(2), 20)z =4- x**2-2*y**2y_vals = np.full_like(x, y)fig.add_trace(go.Scatter3d(x=x, y=y_vals, z=z, mode="lines", line=dict(color="red"), visible=True, name="Curva intersección"))# Recta derivada parcial en xx0, y0 =1, 1z0 =4- x0**2-2*y0**2df_dx =-2*x0x = np.linspace(0, 2, 20)y = np.full_like(x, 1)z = z0 + df_dx*(x - x0)fig.add_trace(go.Scatter3d( x=x, y=y, z=z, mode="lines", line=dict(color="cyan"), name="Derivada parcial respecto de x", visible=True,))# Punto (1,1)x =1y =1z =1fig.add_trace(go.Scatter3d( x=[x], y=[y], z=[z], mode='markers+text', marker=dict(size=4, color='cyan'), text=["P0"], textposition='middle right', showlegend=False,))# Ajusto los límites de los ejesfig.update_layout( updatemenus=[dict(type="buttons", direction="right", x=0.5, xanchor="center", y=1, yanchor="top", buttons=list([dict(label="Derivada parcial en x", method="update", args=[{"visible": [True, True, False, False, False, True, True, True]}, {"title": "DPy"}]),dict(label="Derivada parcial en y", method="update", args=[{"visible": [True, True, True, True, True, False, False, False]}, {"title": "DPx"}]), ]), )], scene=dict( xaxis=dict(range=[0, 3]), yaxis=dict(range=[0, 2]), zaxis=dict(range=[0, 5]), aspectmode="cube", ))
Figura 6: Visualización del plano tangente a f(x,y)=4-x^2-2y^2 en el punto P_{0}(1,1).
La Figura 7 muestra un ejemplo de una función f(x,y)=x^{1/3}y^{1/3} que no es diferenciable en el punto P_{0}(0,0) ya que la gráfica de la función no es suave en ese punto. Debido a esto, es imposible definir un plano tangente a la superficie en P_{0}.
Código
x = np.linspace(-1, 3, 100)y = np.linspace(-1, 3, 100)x, y = np.meshgrid(x, y)z = np.cbrt(x)*np.cbrt(y) # Tengo que usar esto porque sino la raíz cúbica no funcionafig = go.Figure()fig.add_trace(go.Surface(x=x, y=y, z=z, colorscale="Viridis", opacity=0.7, showscale=False))fig.update_layout( scene=dict( xaxis=dict(range=[-1, 3]), yaxis=dict(range=[-1, 3]), zaxis=dict(range=[0, 3]), ))
Figura 7: La función f(x,y)=x^{1/3}y^{1/3} no es diferenciable en (0,0) (adaptado de Marsden y Tromba (1991, 122)).
Ejemplo
Aproximar el cambio en z=\sqrt[]{4-x^2-y^2} cuando (x,y) se desplaza del punto (1,1) al punto (1.01, 0.97). Comprobar esta aproximación con el cambio exacto en z.
El cambio de z es \Delta z y nos están pidiendo que lo aproximemos, así que tenemos que usar la Ecuación 2
\Delta z \approx dz=f_{x}(x,y)dx+f_{y}(x,y)dy
Necesitamos entonces calcular las derivadas parciales de la función, y determinar la distancia que nos movimos en cada eje.
Calculemos primero las distancias dx y dy que es lo mas facil.
Como en x nos movimos desde 1 hasta 1.01, la distancia dx es dx=1.01-1=0.01. Lo mismo hacemos para obtener dy, entonces dy=0.97-1=-0.03.
Y ahora solo queda reemplazar los valores obtenidos en la ecuación
dz=-\frac{1}{\sqrt[]{2}}(0.01)-\frac{1}{\sqrt[]{2}}(-0.03)\approx 0.0141
Entonces podemos decir que si desde el punto (1,1) nos desplazamos al punto (1.01,0.97), \Delta z \approx 0.0141.
Calculemos ahora el valor real de \Delta z. Vimos la fórmula cuando vimos incrementos de una función (Ecuación 1).
\begin{aligned}
\Delta z &= f(1.01, 0.97)-f(1,1)\\
&= \sqrt[]{4-(1.01)^2-(0.97)^2} - \sqrt[]{4-1^2-1^2} \approx 0.0137
\end{aligned}
La regla de la cadena
La regla de la cadena funciona de manera similar a como lo hacía cuando trabajabamos con funciones escalares, solo que ahora al tener mas variables se agregan alguna cosas. La regla de la cadena conviene explicarla en dos casos separados y después presentar el caso general que aplica a cualquier función f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}.
Primero caso
Supongamos que z=f(x,y) es una función derivable de x e y, donde x=g(t) e y=h(t) son funciones derivables de t. Entonces decimos que z es una función derivable de t y se calcula como
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}
Fijemonos que en este caso, la derivada de la función z respecto de t ya no es una derivada parcial ya que t es la única variable de la función. Podemos reescribir z en función de t para que quede mas evidente de la siguiente manera
z=f(x(t),y(t))
Ejemplo
Usar la regla de la cadena para obtener la derivada de z=xy con respecto a t a lo largo de la trayectoria x=\cos^{}(t), y=\sin^{}(t). ¿Cuál es el valor de la derivada en t=\pi/2?
Usamos la fórmula que vimos recién para obtener \frac{\partial z}{\partial t} como sigue
\begin{aligned}
\frac{dz}{dt} &= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}\\
&= \frac{\partial (xy)}{\partial x}\frac{d(\cos^{}(t))}{t} + \frac{\partial (xy)}{\partial y}\frac{d(\sin^{}(t)}{t}\\
&= (y)(-\sin^{}(t)) + (x)(\cos^{}(t))\\
&= (\sin^{}(t))(-\sin^{}(t)) + (\cos^{}(t))(\cos^{}(t))\\
&= -\sin^{2}(t) + \cos^{2}(t) \\
&= \cos^{}(2t)
\end{aligned}
Segundo caso
Supongamos ahora que z=f(x,y) es una función derivable de x e y, donde x=g(s,t) e y=h(s,t) son funciones derivables de s y t. Entonces, las derivadas de z respecto de t y s son
\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} && \frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}
\end{aligned}
Ejemplo
Si z=e^x\sin^{}(y), donde x=st^2 e y=s^2t, determinar \frac{\partial z}{\partial s} y \frac{\partial z}{\partial t}.
Supongamos que u es una función derivable de las n variables x_{1},\dots ,x_{n} y que cada x_{j} es una función derivable de las m variables t_{1}, \dots ,t_{m}. Entonces, u es una función de t_{1},\dots ,t_{m} la derivada parcial de u respecto de t_{i} es
\frac{\partial u}{\partial t_{i}}=\frac{\partial u}{\partial x_{1}}\frac{\partial x_{1}}{\partial t_{i}} + \frac{\partial u}{\partial x_{2}}\frac{\partial x_{2}}{\partial t_{i}} + \dots + \frac{\partial u}{\partial x_{n}}\frac{\partial x_{n}}{\partial t_{i}}
con 1\leq i\leq m.
Existe también la forma matricial de la regla de la cadena que es mucho mas sencilla de ver y calcular, y además es muhco mas prolija y organizada (Moni usa un montón esta regla, y a mi también me parece mas práctica que la otra). La regla de la cadena en su forma matricial es como sigue:
Definición
Sean g:U \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} y f:V \subset \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{p} funciones dadas tales que g transforma U en V, de forma que está definida f\circ g. Supongamos que g es diferenciable en \vec{x_{0}} y que f es diferenciable en \vec{y_{0}}=g(\vec{x_{0}}). Entonces f\circ g es diferenciable en x_{0} y
D(f\circ g)(\vec{x_{0}})=Df(g(\vec{x_{0}}))=Df(\vec{y_{0}})\cdot Dg(\vec{x_{0}})
\tag{3}
No voy a poner un ejemplo de regla de la cadena sin usar la forma matricial porque recomiendo mucho siempre usar esta forma.
Ejemplo
Dada g(x,y)=(x^2+1, y^2) y f(u,v)=(u+v,u,v^2), calcular la derivada de f\circ g en (1,1) usando la regla de la cadena.
Primero identifiquemos las características de las funciones que nos dan:
Vemos que g es una funcion g:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}, así que su matriz derivada pertenece a \mathbb{R}^{2\times 2}, osea que tiene dos filas y dos columnas.
Por otro lado, f es una función f:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{3}, así que su matriz derivada pertenece a \mathbb{R}^{3\times 2}. Tiene tres filas y dos columnas.
Calculemos ahora las matrices derivadas de ambas funciones
Lo siguiente que hay que hacer es evaluar las matrices de derivadas parciales en el punto que nos piden. Recordemos que estamos calculando f\circ g en el punto (1,1), que es lo mismo que decir f(g(1,1)).
Entonces, a la matriz de derivadas de g sí la evaluamos en el punto (1,1), pero a la matriz de derivadas de f la tenemos que evaluar en el punto que devuelve g(1,1), que en este caso es g(1,1)=(1^2+1,1^2)=(2,1). Tenemos que evaluar la matriz de derivadas de f en el punto (2,1).
Por último, hacemos el producto de las matrices
Df(2,1)\cdot Dg(1,1)=\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 & 2\\
2 & 0\\
0 & 4
\end{bmatrix}
Esta matriz nos dice que la derivada de f respecto de x es \frac{\partial f}{\partial x}=(2,2,0) (el vector de la columna 1), y que la derivada de f respecto de y es \frac{\partial f}{\partial y}=(2,0,4) (el vector de la columna 2).
Teorema de Taylor
El hermoso (horrible) teorema de Taylor también aparece en funciones de varias variables. Este teorema, al igual que en análisis I, lo podemos usar para aproximar funciones. La forma de calcularlo es muy parecida a cuando lo hacíamos con una sola variable, solo que ahora tenemos que tener en cuenta que estamos trabajando con varias variables.
Teorema
Teorema de Taylor para funciones de dos variables
Sea f: U \subset \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{} una función diferenciable en el punto P_{0}(x_{0},y_{0}), podemos escribir el polinomio de Taylor de segundo orden como sigue
f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x + f_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y + \frac{1}{2}\left(\begin{bmatrix}
\Delta x & \Delta y
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
f_{xx} & f_{xy}\\
f_{yx} & f_{yy}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\Delta x\\
\Delta y
\end{bmatrix}\right) + Resto
Ejemplo
Dada la función f(x,y)=\cos^{}(2x+\ln{y}), obtener el polinomio de Taylor de segundo orden alrededor del punto (x,y)=(0,1)
Primero calculemos todos los valores que tenemos que poner en la ecuación.
\begin{aligned}
f(0,1) &= \cos^{}(2\cdot 0+\ln{1})=1\\
\Delta x &= x - 0 = x\\
\Delta y &= y - 1\\
\frac{\partial f}{\partial x} &= 2\cos^{}(2x+\ln{y}) \implies \frac{\partial f(0,1)}{\partial x} = 2\\
\frac{\partial f }{\partial y} &= \frac{1}{y}\cos^{}(2x+\ln{y}) \implies \frac{\partial f(0,1)}{\partial y} = 1\\
Hf &= \begin{bmatrix}
4\cos^{}(2x+\ln{y}) & \frac{2}{y}\cos^{}(2x+\ln{y})\\
\frac{2}{y}\cos^{}(2x+\ln{y}) & 0
\end{bmatrix} \implies Hf(0,1)=\begin{bmatrix}
4 & 2\\
2 & 0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
Escribamos ahora el polinomio de Taylor con los datos que tenemos
p_{2}(x,y)=1 + 2(x) + 1(y-1) + \frac{1}{2}\left(\begin{bmatrix}
x & y-1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
4 & 2\\
2 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y-1
\end{bmatrix}\right)
Ahora resolvemos las cuentas y ya podemos escribir el polinomio
\begin{aligned}
p_{2}(x,y) &= 1+2x+y-1+\frac{1}{2}\left(4x^2+4x(y-1)\right)\\
p_{2}(x,y) &= 2x+y+2x^2+2x(y-1)
\end{aligned}
Derivación implícita
Cuando tenemos una función dada de forma implícita y queremos calcular sus derivadas parciales, podemos usar la regla de la cadena. Recordemos que una función está dada de forma explícita cuando se presenta de la forma z=f(x,y). Otra forma que existe de definir a z en función de (x,y) es F(x,y,z)=0, que se llama forma implícita de z.
En esta Sección 3.1.2 habíamos dicho que hay ocasiones en las que es imposible escribir una función que está en su forma implícita como una función explícita. En estos casos tenemos que usar la regla de la cadena sí o sí para calcular las derivadas parciales de la función y el teorema de la función implícita nos dice cuál es el procedimiento.
Teorema
Teorema de la función implícita
Dada una función F definida en una bola alrededor del punto (a,b,c), donde se cumple que F(a,b,c)=0, F_{z}(a,b,c)\neq 0, y F_{x}, F_{y} y F_{z} son continuas en un disco D \subseteq \mathbb{R}^{2}, la ecuación F(x,y,z)=0 define a z como una función de (x,y) en el disco D, y las derivadas parciales de z están dadas por la ecuación
\begin{aligned}
z_{x}(x,y)=-\frac{F_{x}(x,y,z(x,y))}{F_{z}(x,y,z(x,y))} && z_{y}(x,y)=-\frac{F_{y}(x,y,z(x,y))}{F_{z}(x,y,z(x,y))}
\end{aligned}
\tag{4}
Este teorema lo podemos demostrar de forma sencilla de la siguiente manera.
Supongamos que z=f(x,y) está dada implicitamente por la ecuación de fomra F(x,y,z)=0. Esto significa que F(x,y,f(x,y))=0 para todos los puntos (x,y) que pertenecen al dominio de f. Si F y f son derivables, podemos derivar ambos miembros de la ecuación respecto de x de la siguiente forma:
\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} = 0
Pero \partial x/\partial x=1 y \partial y/\partial x = 0. Sabemos que z es en realidad una función de (x,y), por eso \partial z/\partial x no es necesariamente igual a cero. De esta manera, la ecuación anterior queda así:
\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} = 0
Luego podemos repetir el mismo procedimiento para despejar \partial z/\partial y, solo que ahora hay que derivar respecto de y. El resultado final de ambos despejes es el siguiente:
Ejemplo
Sabiendo que z=f(x,y) hallar \frac{\partial z}{\partial x} y \frac{\partial z}{\partial y} por derivación implícita de la función F(x,y,z)=\sin^{}(xy)+\cos^{}(xz)-yz=0.
Primero buscamos las derivadas parciales de la función F.
\begin{aligned}
F_{x} &= \cos^{}(xy) - \sin^{}(xz)\\
F_{y} &= \cos^{}(xy) - z\\
F_{z} &= -\sin^{}(xz) - y
\end{aligned}
Ya podemos calcular las derivadas parciales de z usando el teorema de la función implícita
\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial x} &= -\frac{F_{x}}{F_{z}} = \frac{\cos^{}(xy) - \sin^{}(xz)}{\sin^{}(xz) + y}\\
\frac{\partial z}{\partial y} &= -\frac{F_{y}}{F_{z}} = \frac{\cos^{}(xy) - z}{\sin^{}(xz) + y}
\end{aligned}
Derivada direccional
Dada una función z=f(x,y), las derivadas parciales f_{x} y f_{y} representan las razondes de cambio de z en las direcciones de x e y. Podríamos pensarlo como que representan las razones de cambio en las direcciones de los versores \hat{i} y \hat{j}.
Supongamos ahora que queremos determinar la razón de cambio de z en (x_{0},y_{0}) en la dirección de un vector unitario arbitrario \hat{u}=\left\langle a,b \right\rangle. Consideremos la superficie S dada por la ecuación z=f(x,y) y digamos que z_{0}=f(x_{0},y_{0}). De esta manera, el punto P(x_{0},y_{0},z_{0}) pertenece a la superficie S.
El plano vertical que pasa por P en la dirección \hat{u} interseca a S en la curva C. La pendiente de la recta tangente T a C en el punto P es la razón de cambio de z en la dirección de \hat{u}.
Si Q(x,y,z) es otro punto en C y P^{\prime}, Q^{\prime} son las proyecciones de P, Q en el plano xy, el vector \vec{P^{\prime}Q^{\prime}} es paralelo a \hat{u} y por lo tanto
\vec{P^{\prime}Q^{\prime}}=h\hat{u}=\left\langle ha,hb \right\rangle \qquad h \in \mathbb{R}^{}
Así, x-x_{0} = ha, y-y_{0}=hb, entonces x=x_{0}+ha e y=y_{0}+hb, con lo que podemos decir que
\frac{\Delta z}{h}=\frac{z-z_{0}}{h}=\frac{f(x_{0}+ha, y_{0}+hb)-f(x_{0},y_{0})}{h}
Si calculamos el límite cuando h \to 0, obtenemos la razón de cambio de z en la dirección de \hat{u}, que se conoce como derivada direccional de f en la dirección \hat{u}.
Definición
La derivada direccional de f en (x_{0},y_{0}) en la dirección de un vector unitario \hat{u}=\left\langle a,b \right\rangle es
D_{u}f(x_{0},y_{0})=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_{0}+ha, y_{0}+hb)-f(x_{0},y_{0})}{h}
\tag{5} si ese límite existe.
Con esta definición podemos ver que si \hat{u} = \hat{i} = \left\langle 1,0 \right\rangle, entonces D_{i}f=f_{x}, y que si \hat{u}=\hat{j}=\left\langle 0,1 \right\rangle, entonces D_{j}f=f_{y}. Osea que, en realidad, las derivadas parciales respecto de y y x son casos especiales de las derivadas direccionales.
Teorema
Si f es una función diferenciable de x e y, entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario \hat{u}=\left\langle a,b \right\rangle es
D_{u}f(x,y)=f_{x}(x,y)a+f_{y}(x,y)b
Podemos demostrar el teorema anterior como sigue. Dado un punto fijo (x_{0},y_{0}), sea g una función paramétrica de la recta tal que
g(t)=\begin{cases}
x=x_{0}+t\cdot a\\
y=y_{0}+t\cdot b
\end{cases}
Podemos decir que g es una función compuesta por f(x,y) de manera que g(t)=f(x(t),y(t)). Como f es diferenciable, se puede aplicar la regla de la cadena para obtener
g'(t)=f_{x}(x,y)x'(t) + f_{y}(x,y)y'(t) = f_{x}(x,y)a + f_{y}(x,y)b
Si t=0, entonces x=x_{0} e y=y_{0}, por lo tanto
g'(0)=f_{x}(x_{0},y_{0})a + f_{y}(x_{0},y_{0})b
De acuerdo con la definición Ecuación 5, también es cierto que
\begin{aligned}
g^{\prime}(0) &= \lim_{t \to 0}\frac{g(t)-g(0)}{t}\\
g'(0) &= \lim_{t \to 0}\frac{f(x_{0}+ta, y_{0}+tb) - f(x_{0},y_{0})}{t}
\end{aligned}
Así que queda demostrado que D_{u}f(x,y)=f_{x}(x,y)a + f_{y}(x,y)b.
Ejemplo
Hallar la derivada direccional de f(x,y)=4-x^2-\frac{1}{4}y^2 en el punto (1,2) en la dirección de \hat{u}=\left\langle \cos^{}(\frac{\pi}{3}),\sin^{}(\frac{\pi}{3}) \right\rangle
\begin{aligned}
D_{u}f(x,y) &= f_{x}(x,y)\cos^{}(\frac{\pi}{3}) + f_{y}(x,y)\sin^{}(\frac{\pi}{3})\\
&= (-2x)\cos^{}(\frac{\pi}{3}) + \left(-\frac{y}{2}\right)\sin^{}(\frac{\pi}{3})
\end{aligned}
Evaluando en el punto (1,2) obtenemos
D_{u}f(1,2)=(-2)\left(\frac{1}{2}\right) + (-1)\left(\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right) = -1-\frac{\sqrt[]{3}}{2}
El vector gradiente
Del teorema anterior, podemos ver que la derivada direccional de una función se puede escribir como el producto punto de dos vectores:
\begin{aligned}
D_{u}f(x,y) &= f_{x}(x,y)a + f_{y}(x,y)b\\
&= \left(f_{x}(x,y),f_{y}(x,y)\right)\cdot \left\langle a,b \right\rangle\\
D_{u}f(x,y) &= \left(f_{x}(x,y),f_{y}(x,y)\right)\cdot \hat{u}
\end{aligned}
El primer vector en este producto recibe el nombre de gradiente de f y se denota como \nabla f.
Definición
Dada una función f:U \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{}, podemos definir el gradiente de la función, y lo denotamos como \nabla f, como un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de todas sus variables independientes.
\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f}{\partial x_{2}}, \dots ,\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\right)
\tag{6}
De esta manera, podemos escribir la derivada direccional de la siguiente manera
D_{u}f(x,y)=\nabla f \cdot \hat{u}
Ejemplo
Hallar la derivada direccional de f(x,y)=3x^2-2y^2 en el punto (-\frac{3}{4},0) en la dirección de P(-\frac{3}{4}, 0) a Q(0,1).
Busquemos primero el vector unitario \hat{u} que tiene dirección PQ
\begin{aligned}
\hat{u} &= \frac{\vec{PQ}}{\lVert\vec{PQ}\rVert} = \frac{(\frac{3}{4},1)}{\sqrt[]{\left(\frac{3}{4}\right)^2+1^2}}\\
\hat{u} &= \frac{1}{5}(3,4)
\end{aligned}
Ahora buscamos el vector gradiente de f
\nabla f = \left(6x,-4y\right)
Y lo evaluamos en el punto (-\frac{3}{4},0)
\nabla f\left(\frac{3}{4},0\right)=\left(-\frac{9}{2},0\right)
Y con todo esto ya podemos calcular la derivada direccional
\begin{aligned}
D_{u}f\left(\frac{3}{4},0\right) &= \nabla f\left(\frac{3}{4},0\right)\cdot \hat{u}\\
&= \left(-\frac{9}{2}, 0\right) \cdot \left(\frac{3}{4},\frac{4}{5}\right)\\
D_{u}f\left(\frac{3}{4},0\right) &= -\frac{27}{10}
\end{aligned}
Maximización de la derivada direccional
Como la derivada direccional D_{u}f(\vec{x}) es el producto escalar entre dos vectores \nabla f(\vec{x})\cdot \hat{u}, el valor máximo de la derivada direccional lo vamos a obtener cuando al dirección de \nabla f(\vec{x}) sea la misma que el versor \hat{u}. Esto es porque cuando dicho vectores tienen la misma dirección el producto escalar dá su valor máximo ya que el \cos^{}(\theta)=1. Cuando esto ocurre, el valor de la derivada direccional es el módulo del vector gradiente D_{u}f(\vec{x})=\lVert\nabla f(\vec{x})\rVert.
Ejemplo
La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es T(x,y)=20-4x^2-y^2, donde x e y se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partir de (2,-3) aumenta más rápido la temperatura? ¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento?
Lo que nos pide la consigna es primero obtener la dirección de máximo creciemiento de la función T, que sabemos que es la dirección de \nabla f, y luego nos pide obtener la derivada direccional máxima en el punto (2,-3).
Busquemos el vector gradiente para encontrar la dirección de máximo crecimiento de T.
\nabla T = \left(-8x, -2y\right) \implies \nabla T(2,-3) = \left(-16,6\right)
Para obtener la dirección normalizamos el vector gradiente en el punto (2,-3).
\hat{u} = \frac{1}{\sqrt[]{292}}\left(-16,6\right)
La tasa de crecimiento es el valor de la derivada direccional máxima, que es la norma del vector gradiente en el punto (2,-3).
\lVert\nabla T(2,-3)\rVert = \sqrt[]{292}
Planos tangentes a superficies
Una de las propiedades importantes del vector gradiente es que siempre es perpendicular a la curva o superficie de nivel (dependiendo de la dimensión del dominio de la función). Esto lo podemos demostrar de la siguiente manera.
Código
# Superficie en el primer octantetheta = np.linspace(0, np.pi/2, 20) # Restrict to first octantphi = np.linspace(0, np.pi/2, 20)theta, phi = np.meshgrid(theta, phi)x =2* np.sin(theta) * np.cos(phi)y =2* np.sin(theta) * np.sin(phi)z =2* np.cos(theta)# Plot de la superficiesurface = go.Surface( x=x, y=y, z=z, opacity=0.5, colorscale='Viridis', showscale=False, name='Superficie F(x,y,z)')# Un punto P0 que pertenece a la superficiepoint = go.Scatter3d( x=[1], y=[1], z=[np.sqrt(2)], mode='markers', marker=dict(size=5, color='black'), name='$P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$')# Curva sobre C sobre la superficie S en forma esférica, que pasa por el punto P0phi = np.linspace(0, np.pi/2, 20)theta = np.full_like(phi, np.pi/4)curva_x =2* np.sin(phi) * np.cos(theta)curva_y =2* np.sin(phi) * np.sin(theta)curva_z =2* np.cos(phi)curva = go.Scatter3d( x=curva_x, y=curva_y, z=curva_z, mode='lines', line=dict(color='red', width=4), name='$r(t)=(x(t),y(t),z(t))$')# Recta tangente a la curva Cs = np.linspace(-0.5, 0.5, 20)tangent_x =1+ stangent_y =1+ stangent_z = np.sqrt(2) - s * np.sqrt(2)tangent = go.Scatter3d( x=tangent_x, y=tangent_y, z=tangent_z, mode='lines', line=dict(color='blue', width=4), name="Recta $r'(t)$")# Gradient vector at (1, 1, sqrt(2))gradient = go.Cone( x=[1], y=[1], z=[np.sqrt(2)], u=[2], v=[2], w=[2* np.sqrt(2)], sizemode='absolute', anchor="tail", sizeref=0.5, colorscale="Reds", opacity=0.6, showscale=False, showlegend=True, name='Vector gradiente')# Annotations for labelingannotations = [# Sphere labeldict( x=1.5, y=0.5, z=np.sqrt(4-1.5**2-0.5**2), text="Superficie F(x,y,z)", showarrow=True, arrowhead=2, ax=20, ay=-20 ),# Point labeldict( x=1, y=1, z=np.sqrt(2), text="P\u2080(x\u2080,y\u2080,z\u2080)", # \u2080 es equivalente a _0 showarrow=True, arrowhead=2, ax=20, ay=-20 ),# Curve labeldict( x=0.5, y=0.5, z=np.sqrt(3.5), text="r(t\u2080)=(x(t\u2080),y(t\u2080),z(t\u2080))", font=dict(color="red"), showarrow=True, arrowhead=2, ax=20, ay=-20 ),# Tangent line labeldict( x=1.5, y=1.5, z=np.sqrt(2) -0.5* np.sqrt(2), text="Recta r'(t\u2080)", font=dict(color="blue"), showarrow=True, arrowhead=2, ax=20, ay=-20 ),# Gradient vector labeldict( x=5/4, y=5/4, z=5*np.sqrt(2)/4, text="Vector gradiente de F", font=dict(color="chocolate"), showarrow=True, arrowhead=2, ax=20, ay=-20 )]# Create figurefig = go.Figure(data=[surface, point, curva, tangent, gradient])fig.update_layout( scene=dict( aspectmode='cube', xaxis=dict(range=[0, 2.5]), yaxis=dict(range=[0, 2.5]), zaxis=dict(range=[0, 2.5]), annotations=annotations ),)
Figura 8: El vector gradiente es normal a la superficie de nivel F(x,y,z) = k
Supongamos que S es una superficie de nivel con ecuación F(x,y,z)=k, y sea P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) un punto en S. Sea C cualquier curva de la superficie S que pasa por el punto P_{0}. La función de la cruva C la podemos escribir en su forma paramétrica de manera que C=r(t)=\left(x(t),y(t),z(t)\right). Sea t_{0} el valor paramétrico correspondiente a P_{0}; es decir, r(t_{0})=\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right). Como C reside en S, cualquier punto \left(x(t), y(t), z(t)\right), debe satisfacer la ecuación de S, es decir
F\left(x(t),y(t),z(t)\right)=k
Si x, y y z son funciones derivables de t, y F también es derivable, podemos derivar ambos lados de la ecuación respecto de t usando la regla de la cadena como sigue:
\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial F}{\partial z}\frac{dz}{dt} = 0
\tag{7}
Pero habíamos visto recién que \left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) era el vector de gradiente de F, y también sabemos que r'(t)=\left(x'(t), y'(t), z'(t)\right) es tangente a la superficie S. Podemos expresar la Ecuación 7 de la siguiente manera
\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)\cdot \left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}\right) = 0
\nabla F\cdot r'(t) = 0
y analizarla en t=t_{0}
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot r'(t_{0}) = 0
\tag{8}
La Ecuación 8 establece que el vector gradiente en P_{0} dado por \nabla F(x_{0},y_{0},z_{0}), es perpendicular al vector tangente r'(t_{0}), el cual es también perpendicular a cualquier curva C en S que pase por P_{0}. Osea que podemos afirmar que, si \nabla F\neq \vec{O}, entonces es perpendicular a la superficie S, por lo que es perpendicular al plano tangente a S en el punto P_{0}. En otras palabras, el plano tangente a la superficie de nivel F(x,y,z)=k en el punto P_{0} es aquel cuyo vector normal es \nabla F(x_{0},y_{0},z_{0}) y pasa por el punto P_{0}.
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot \vec{P_{0}P} = 0 \text{Ecuación del plano tangente a $S$}
En el caso especial que la ecuación de una superficie S sea de la forma z=f(x,y), podemos definir la ecuación como
F(x,y,z)=f(x,y)-z=0
y cosiderarla como una superficie de nivel con k=0. De esta manera
\begin{aligned}
F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0} &= f_{x}(x_{0},y_{0})\\
F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0} &= f_{y}(x_{0},y_{0})\\
F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0} &= -1
\end{aligned}
Ejemplo
Hallar la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie z=e^{3x}\sin^{}(3y) en el punto P(0,\frac{\pi}{6},1)
Esta ecuación está dada en la forma z=f(x,y), así que la vamos a considerar como la superficie de nivel con k=0, de manera que F(x,y,z)=e^{3x}\sin^{}(3y)-z=0.
Para encontrar la ecuación del plano todo lo que tenemos que hacer es encontrar el vector gradiente de F.
\begin{aligned}
F_{x}(x,y,z) = f_{x}(x,y) &= 3e^{3x}\sin^{}(3y) \implies F_{x}(0, \frac{\pi}{3}, 1) = 3\\
F_{y}(x,y,z) = f_{y}(x,y) &= -3e^{3x}\cos^{}(3y) \implies F_{y}(0, \frac{\pi}{3}, 1) = 0\\
F_{z} &= -1
\end{aligned}
Tenemos entonces el vector normal al plano, y un punto que pertenece al plano así que podemos encontrar su ecuación
\begin{aligned}
\pi &: \nabla F(0,\frac{\pi}{3},1)\cdot \left(x-0, y-\frac{\pi}{3}, z-1\right) = 0\\
&: (3, 0, -1)\cdot (x-0,y-\frac{\pi}{3},z-1) = 0\\
\pi &: 3x - z = -1
\end{aligned}
Máximos y mínimos
Definición
Una función de dos variables tiene un máximo local en (a,b) si f(x,y)\leq f(a,b) para todo (x,y) en un disco abierto alrededor de (a,b). El número f(a,b) se llama valor máximo local.
Si f(x,y)\geq f(a,b) para todo (x,y) en un disco abierto de (a,b), f tiene un mínimo local en (a,b) y f(a,b) es un mínimo local.
Si en la definición anterior las desigualdades son vállidas para todos los puntos (x,y) del dominio de f, entonces f tiene un máximo absoluto (o mínimo absoluto) en (a,b).
Si f tiene un máximo o un mínimo local en (a,b) y las derivadas parciales existen, entonces f_{x}(a,b)=0 y f_{y}(a,b)=0. En otras palabras, si hay un máximo o un mínimo en (a,b), el gradiente de f es el vector nulo \nabla f(a,b)=\vec{O}.
Un punto crítico de f es cuando f_{x}(a,b)=0 y f_{y}(a,b)=0, o si al menos una de las derivadas parciales no existe. Todos los máximos y mínimos de f son puntos críticos, pero no todos los puntos críticos son máximos o mínimos de f.
Ejemplo
Sea f(x,y)=x^2+y^2-2x-6y+14, calcular los extremos de la función.
Ahora tenemos que buscar los puntos críticos de la función. Para eso igualamos a cero las derivadas parciales y resolvemos el sistema de ecuaciónes
\left\{
\begin{aligned}
2x - 2 = 0\\
2y - 6 = 0
\end{aligned}
\right. \implies \left\{
\begin{aligned}
x = 1\\
y = 3
\end{aligned}
\right.
El único punto crítico que encontramos es el (1,3).
Ahora evaluamos la función en el punto crítico. Conviene completar los cuadrados para hacer los cálculos mas sencillos
f(x,y)=(x-1)^2+(y-3)^2+4
Al evaluar la función en el punto (1,y) nos queda (y-3)^2\geq 0, \forall y \in \mathbb{R}^{}. Cuando evaluamos en el punto (x,3) obetenemos (x-1)^2\geq 0, \forall x \in \mathbb{R}^{}. Esto nos dice que la función crece en la dirección de x y también en la dirección de y a partir del punto (1,3), por lo que f(1,3)=4 es mínimo absoluto de f.
Las derivadas se hacen cero cuando x=y=0, así que tenemos un solo punto crítico en el (0,0). Sin embargo, al analizar la función en ese punto vemos que en un sentido crece, y en otro decrece: f(0,y)=y^2\geq 0, \forall y \in \mathbb{R}^{}, pero f(x,0)=-x^2\leq 0, \forall x \in \mathbb{R}^{}. En consecuencia, todos los discos alrededor del punto (0,0) contienen puntos donde f adopta valores positivos, así como puntos en los que f adopta valores negativos. Por lo tanto, f(0,0)=0 no puede ser ni un máximo ni un mínimo de f. Es un punto silla.
Figura 10: Visualización de la función f(x,y)=y^2-x^2 y su punto silla en f(0,0).
En los ejemplos que vimos recién es fácil determinar los extremos relativos porque cada una de las funciones estaba dada, o se podía expresar, en forma de cuadrado perfecto. Para funciones mas complicadas existen métodos, como el de la segunda derivada, para determinar los extremos de una función.
Teorema
Teorema del criterio de las segundas derivadas parciales
Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene un punto (a,b) para el cual
\begin{aligned}
f_{x}(a,b) = 0 && \text{y} && f_{y}(a,b)=0
\end{aligned}
Para buscar los extremos relativos de f, podemos armar el Hessiano en el punto (a,b) (Hf(a,b)) y calcular su determinante.
Si \det{Hf} > 0 y f_{xx}(a,b)>0, entonces f(a,b) es un mínimo local.
Si \det{Hf} > 0 y f_{xx}(a,b)<0, entonces f(a,b) es un máximo local.
Si \det{Hf} < 0, entonces f(a,b) es un punto silla.
Si \det{Hf} = 0, entonces este método no sirve ya que no aporta información útil.
Ejemplo
Encontrar los valores máximos y mínimos locales, y los puntos silla de la función f(x,y)=x^4 + y^4 - 4xy + 1.
Primero buscamos los puntos críticos
\begin{aligned}
f_{x}(x,y) = 4x^3 - 4y && f_{y}(x,y) = 4y^3 - 4x
\end{aligned}
Al igualar a cero las derivadas parciales se obtiene el siguiene sistema de ecuaciones:
\left\{
\begin{aligned}
4(x^3 - y) = 0\\
4(y^3 - x) = 0
\end{aligned}
\right. \implies \left\{
\begin{aligned}
x^3 = y\\
y^3 = x
\end{aligned}
\right. \implies (x^3)^3 - x = 0
\implies 0 = x(x^8 - 1) = x(x^4 - 1)(x^4 - 1) = x(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 - 1)
De manera que hay tres raíces reales: x=\left\{0, 1, -1\right\}. Los tres puntos críticos son (0,0), (1,1), y (-1,-1). Fijarse que los puntos en los que x e y tienen distinos valores o distintos signos se descartan porque sabemos que x^3=y.
Calculemos ahora las segundas derivadas para poder armar el Hessiano:
\begin{aligned}
f_{xx}(x,y) = 12x^2 && f_{xy}(x,y) = -4 && f_{yx}(x,y) = -4 && f_{yy}(x,y) = 12y^2
\end{aligned}
El Hessiano y su determinante nos quedan así:
\begin{aligned}
Hf(x,y) = \begin{bmatrix}
12x^2 & -4\\
-4 & 12y^2
\end{bmatrix} && ,\det{Hf(x,y)} = 144x^2y^2 - 16
\end{aligned}
Cuando analizamos la \det{Hf} en el punto (0,0) obtenemos \det{Hf(0,0)} = -16 < 0, y el teorema de la segunda derivada nos dice que el f(0,0)=2 es un punto silla.
Si analizamos la \det{Hf} en el punto (1,1) obtenemos \det{Hf(1,1)} = 128 > 0. Tenemos que mirar entonces el valor de f_{xx}(1,1), que es igual a 12, así que según el teorema, el punto f(1,1)=12 es un mínimo local. En el punto (1,1) la determinante del Hessiano nos vuelve a dar 128, y f_{xx}(1,1)=12, así que f(-1,-1)=12 es también un mínimo local.
Figura 11: Visualización de la función f(x,y)=x^4+y^4-4xy+2 y sus puntos críticos.
Valores máximos y mínimos absolutos
Para una función f de una variable, el teorema de los vlaores extremos establece que si f es continua en un intervalo cerrado \left[a,b\right], f tiene un valor mínimo absoluto y un máximo absoluto. Esos valores se determinan evaluando f no solo en los puntos críticos, sino también en los puntos extremos a y b.
Lo mismo que pasa en las funciones escalares, pasa para las funciones de varias variables.
Teorema
Teorema de los valores extremos para funciones de dos variables
Si f es continua en un conjunto cerrado y acotado D en \mathbb{R}^{2}, entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(x_{1}, y_{1}) y un valor mínimo absoluto f(x_{2},y_{2}) en algunos puntos en D.
Podemos entonces extender el teorema de los valores extremos relativos
Para determinar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua f en un conjunto cerrado y acotado D:
Determinamos los valores de f en los puntos críticos de f en D.
Determinamos las valores extremos de f en la frontera de D.
El mayor de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el menor de esos valores es el mínimo absoluto.
Ejemplo
Hallar los valores máximo y mínimo absoluto de la función f(x,y)=x^2 - 2xy + 2y en el rectángulo D=\left\{(x,y) \;/\; 0\leq x\leq 3 \land 0\leq y\leq 2\right\}
Buscamos los puntos críticos
\begin{aligned}
f_{x}=2x-2y=0 && f_{y}(x,y)=-2x + 2 = 0
\end{aligned}
El único punto crítico es el (1,1), y el valor de f ahí es f(1,1)=1.
El siguiente paso es determinar los valores extremos de f en la forntera de D, que en este caso son los cuatro segmentos de recta L_{1},L_{2},L_{3},L_{4} que delimitan el cuadrado D.
Código
# Este gráfico me lo hizo GrokAI. Tremendo.# Define the vertices of the rectanglex = [0, 3, 3, 0, 0] # Close the polygon by returning to the starty = [0, 0, 2, 2, 0]# Create the plotplt.figure(figsize=(6, 4))plt.plot(x, y, 'b-', label='Boundary') # Plot the rectangle boundary# Fill the interior with a soft color (e.g., light blue)plt.fill(x, y, color='lightblue', alpha=0.3)# Add labels for each sideplt.text(1.5, -0.1, '$L_1$', ha='center', va='top')plt.text(3.1, 1, '$L_2$', ha='left', va='center')plt.text(1.5, 2.1, '$L_3$', ha='center', va='bottom')plt.text(-0.1, 1, '$L_4$', ha='right', va='center')# Set axis limits and labelsplt.xlim(-0.5, 3.5)plt.ylim(-0.5, 2.5)plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.grid(True)plt.legend()# Display the plotplt.show()
Figura 12: Visualización de la región D.
El segmento L_{1} está dado por la ecuación L_{1}:=\begin{cases}
y = 0 \\
0 \leq x\leq 3
\end{cases}. Si evaluamos la recta L_{1} en la ecuación f obtenemos:
\begin{aligned}
f(x,0)=x^2 && 0\leq x\leq 3
\end{aligned}
El valor mínimo de esta función es f(0,0)=0 y el máximo es f(3,0)=9.
Para L_{2} que:
\begin{aligned}
f(3,y) = 9 - 4y && 0\leq y\leq 2
\end{aligned}
El valor mínimo es f(3,0)=9 y su valor mínimo es f(3,2)=1.
Para L_{3} tenemos:
\begin{aligned}
f(x,2)=x^2-4x+4 && 0\leq x\leq 3
\end{aligned}
El valor mínimo de esta función es f(2,2)=0 y el valor máximo es f(0,2)=4.
Por último, para L_{4} tenemos:
\begin{aligned}
f(0,y)=2y && 0\leq y\leq 2
\end{aligned}
que tiene valor mínimo f(0,0)=0 y valor máximo f(0,2)=4.
Ahora nos fijamos todos los valores que obtuvimos y determinamos los máximos y mínimos. En este caso, el valor máximo que obtubimos fue f(3,0)=9 y el valor mínimo es f(0,0)=f(2,2)=0. Estos valores son extremos absolutos.
Figura 13: Visualización de la función f(x,y)=x^2-2xy+2y y sus valores extremos absolutos dentro de la región D.
Multiplicadores de Lagrange
Una de las mayores aplicaciones de los extremos de las funciones es resolver problemas de optimización. Cuando queremos optimizar una función f(x,y) vamos a necesitar encontrar sus extremos, pero además vamos a estar sujetos a restricciones del tipo g(x,y)=k. Un ejemplo de una situación en la que pasa esto es cuando queremos calcular las dimensiones de un depósito cilíndrico, y queremos que tenga un cierto volumen k, y que el área total sea mínima. En este caso, la función que estamos intentando optimizar es la del área de cilíndro, y la restricción es el volúmen del mismo igual a k.
Una restricción
Para entender este método conviene primero analizarlo para funciones de dos variables, y una vez que lo entdemos geométricamente podemos estudiarlo para funciones de tres variables. entonces, supongamos que tenemos una funcion f(x,y) y queremos encontrar los valores extremos cuando el punto (x,y) está restringido a residir en la curva de nivel g(x,y)=k.
En la Figura 14 podemos ver la curva g(x,y)=k y vaias curvas de nivel de f, dadas por f(x,y)=c, donde c=\left\{7,8,9,10,11\right\}. Maximizar f(x,y) sujeta a g(x,y)=k consiste en encontrar el mayor valor de c para el cual la curva f(x,y)=c interseca a g(x,y)=k. Podemos ver que esto sucede cuando dichas curvas apenas se tocan, y en ese punto comparten la misma recta tangente. Esto significa que las rectas normales a cada curva en el punto (x_{0},y_{0}) donde se tocan son idénticas. Podemos decir entonces que los vectores gradientes son paralelos: es decir \nabla f(x_{0},y_{0})=\lambda\nabla g(x_{0},y_{0}) con \lambda \in \mathbb{R}^{}.
El mismo argumento aplica cuando queremos encontrar valores extremos de f(x,y,z) sujeta a la restricción g(x,y,z)=k, solo que ahora en vez de pensar en curvas de nivel tenemos que pensar en superficies de nivel. Como los vectores gradiente de f y g son paralelos, podemos decir que si \nabla g\neq \vec{O}, existe un \lambda \in \mathbb{R}^{} tal que
\nabla f(x_{0},y_{0},z_{0})=\lambda\nabla g(x_{0},y_{0},z_{0})
El número real \lambda se llama multiplicador de Lagrange.
Método de los multiplicadores de Lagrange
Para determinar los valores máximo y mínimo de f(x,y,z) sujetos a la restricción g(x,y,z)=k (suponiendo que esos valores existen y que \nabla g(x_{0},y_{0},z_{0})\neq \vec{O}):
Determinamos todos los valores de x, y, z, \lambda tales que
\left\{
\begin{aligned}
\nabla f(x,y,z) &= \lambda\nabla g(x,y,z)\\
g(x,y,z) &= k
\end{aligned}
\right.
Evaluamos f en todos los puntos (x,y,z) que resulten del paso anterior. El mayor de esos valores es el valor máximo de f; el menor es el valor mínimo de f.
Los valores que tome \lambda no son importantes.
Ejemplo
Se quiere armar una caja rectangular sin tapa con 12m^2 de cartón. Determinar el volumen máximo de la caja.
Lo primero que tenemos que hacer en este tipo de ejercicios es identificar cuál es la función que queremos optimizar, y cuál es nuestra restricción.
En este caso nos piden encontrar el columen máximo, así que la función que tenemos que optimizar es la del volúmen de un paralelepípedo. Vamos a definir x, y y z como el largo, ancho y alto de la caja, de manera que la función del volúmen nos queda
V(x,y,z)=xyz
Por otro lado, la restricción que nos dan es que solo tenemos 12m^2 de cartón para armar la caja. Nos están diciendo que el área de la misma es igual a 12. Como la caja no tiene tapa, con el cartón vamos a tener que cubrir la cara xy (piso de la caja) una sola vez, la cara yz dos veces (los lados izquierdo y derecho de la caja) y la cara xz también dos veces (las caras del frente y atrás de la caja). La ecuación del área, que es nuestra restricción nos queda así:
g(x,y,z)=2xz + 2yz + xy = 12
Como ya sabemos cuáles son nuestras funciones, podemos armar el sistema de ecuaciónes y resolver
\left\{
\begin{aligned}
\nabla V(x,y,z) &= \lambda\nabla g(x,y,z)\\
g(x,y,z) &= k
\end{aligned}
\right.
\implies \left\{
\begin{aligned}
V_{x} = \lambda g_{x}\\
V_{y} = \lambda g_{y}\\
V_{z} = \lambda g_{z}\\
2xz + 2yz + xy = 12
\end{aligned}
\right. \implies \left\{
\begin{aligned}
yz = \lambda(2z+y) && (1)\\
xz = \lambda(2z+x) && (2)\\
xy = \lambda(2x+2y) && (3)\\
2xz + 2yz + xy = 12 && (4)\\
\end{aligned}
\right.
Lo primero que podemos descartar de este sistema es \lambda=0, ya que si esto es cierto implicaría que yz=xz=xy que sabemos que no es cierto por la ecuación (4). Por otro lado, podemos multiplicar (1) por x, (2) por y y (3) por z para que nos queden los lados izquierdos de las ecuaciones (1), (2) y (3) todos iguales.
\left\{
\begin{aligned}
xyz = \lambda(2xz+xy) && (5)\\
yxz = \lambda(2yz+yx) && (5)\\
zxy = \lambda(2zx+yz) && (5)\\
2xz + 2yz + xy = 12 && (4)\\
\end{aligned}
\right.
De (6) y (7) podemos decir que
2xz + xy = 2yz + xy
que nos dice que xz=yz. Pero z\neq 0 porque el volúmen de la caja no puede ser cero, así que x=y.
De (7) y (8) tenemos que
2yz + xy = 2xz + 2yz
de donde sale que xy=2xz, y por lo tanto y=2z ya que x\neq 0. Y ya resolvimos nuestro sistema de ecuaciones. Ahora podemos poner x=y=2z en (4) y obtenemos
4z^2 + 4z^2 + 4z^2 = 12
Como x, y y z son positivas (porque no podemos tener volúmen o área negativa), se tiene que z=1, así que x=y=2.
El vólumen máximo de una caja rectangular sin tapa con un área total de 12m^2 es V(x,y,z)=2\cdot 2\cdot 1=4m^3.
Dos restricciones
También nos pueden pedir que encontremos los valores máximo y mínimo de una función f(x,y,z) sujeta a dos restricciones de la forma g(x,y,z)=k y h(x,y,z)=c.
Cuando teníamos el caso de una sola restricción habíamos dicho que \nabla f = \lambda\nabla g y esto lo podemos pensar como que \nabla f es combinación lineal de \nabla g. Exactamente el mismo concepto es el que tenemos que aplicar enel caso de dos restricciones: \nabla f debe ser combinación lineal de los vectores \nabla g y \nabla h. Esto siginifica que el vector gradiente \nabla f(x_{0},y_{0},z_{0}) está en el plano determinado por \nabla g(x_{0},y_{0},z_{0}) y \nabla h(x_{0},y_{0},z_{0}).
\nabla f(x_{0},y_{0},z_{0}) = \lambda\nabla g(x_{0},y_{0},z_{0}) + \mu\nabla h(x_{0},y_{0},z_{0})
Los valores \lambda y \mu son denominados multiplicadores de Lagrange.
Al haber ahora dos restricciones, el sistema de ecuaciones que vamos a tener va a ser un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas.
\left\{
\begin{aligned}
f_{x}=\lambda g_{x} + \mu h_{x}\\
f_{y}=\lambda g_{y} + \mu h_{y}\\
f_{z}=\lambda g_{z} + \mu h_{z}\\
g(x,y,z)=k\\
h(x,y,z)=c
\end{aligned}
\right.
Ejemplo
Encontrar el valor máximo de la función f(x,y,z)=x+2y+3z en la curva de intersección del plano x-y+z=1 y el cilindro x^2+y^2=1.
Planteamos el sistema de ecuaciones:
\left\{
\begin{aligned}
1 = \lambda + \mu2x && (1)\\
2 = -\lambda + \mu2y && (2)\\
3 = \lambda && (3)\\
x - y + z = 1 && (4)\\
x^2 + y^2 = 1 && (5)
\end{aligned}
\right.
De (3) sale \lambda = 3, que si lo ponemos en (1) nos queda \mu2x=-2 \implies x=-1/\mu. Podemos hacer lo mismo en (2) para obtener y=5/(2\mu). Ahora podemos sustituir x e y en (5):
\frac{1}{\mu^2} + \frac{25}{4\mu^2} = 1
y por lo tanto, \mu^2=\frac{29}{4} \implies \mu=\pm\sqrt[]{29}/2. Entonces x=\mp2/\sqrt[]{29}, y=\pm5/\sqrt[]{29} y podemos meter estos valores en (4) de manera que z=1-x+y=1\pm7/\sqrt[]{29}. Los valores correspondientes de f son:
\mp\frac{2}{\sqrt[]{29}} + 2\left(\pm\frac{5}{\sqrt[]{29}}\right) + 3\left(1\pm\frac{7}{\sqrt[]{29}}\right) = 3\pm\sqrt[]{29}
El valor máximo de f en la curva dada es 3+\sqrt[]{29}
Integrales múltiples
Integrales dobles
Integrales dobles en rectángulos
En análisis I habíamos visto las integrales para las funciones de una variable. Si queríamos integrar la función f(x) en el intervalo \left[a,b\right], lo que hacíamos era dividir ese intervalo en n subintervalos cerrados \left[x_{i-1}, x_{i}\right] de igual ancho \Delta x=(b-a)/n y sumábamos todos los intervalos (armábamos la suma de Riemann)
\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x
y decíamos que la integral de f(x) en el intervalo \left[a,b\right] era el resultado de la suma de Riemann cuando x tiende a infinito.
\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x)\Delta x
El resultado de la integral lo podíamos interpretar como el área bajo la curva en el segmento \left[a,b\right].
Para el caso de funciones de dos variables al idea es la misma, solo que ahora tenemos que tener en cuenta que estamos trabajando con una dimensión mas. Cuando nosotros queremos definir la integral en cierto intervalo, este intervalo ahora va a tener dos dimensiones así que podría ser un cuadrado por ejemplo, o una circunferencia, o cualquier forma 2d.
Si consideramos una función f de dos variables definida en un rectángulo cerrado
R=\left[a,b\right]\times \left[c,d\right] = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \;/\; a\leq x\leq b \land c\leq y\leq d\right\}
la gráfica de f es una superficie con ecuación z=f(x,y). Llamemos S al sólido que se encuentra entre el rectángulo R y la función f
S=\left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \;/\; 0\leq z\leq f(x,y) \land (x,y) \in \mathbb{R}^{}\right\}
Cuando hacemos una integral doble, obtenemos el volúmen de S.
Figura 16: La integral doble de z=f(x,y) en la región R representa el volúmen del sólido S (adaptado de James (2012, 988)).
Como dijimos, la idea para resolver este cálculo es el mismo que usamos cuando teníamos integrales simples. Lo que vamos a hacer ahora es dividir el rectángulo R en cuadraditos mas chicos. Esto se hace dividiendo el intervalo \left[a,b\right] en m subintervalos \left[x_{i-1},x_{i}\right] de igual ancho \Delta x = (b-a)/m y dividiendo \left[c,d\right] en n subintervalos \left[y_{j-1},y_{j}\right] de igual ancho \Delta y=(d-c)/n. Sabemos que cada cuadradito que nos quede va a tener un área \Delta A determinada, y si multiplicamos ese área por el valor en z que está asociado al miso, tenemos el volúmen que hay entre cada cuadradito y la función z=f(x,y). Esto lo repetimos para todos los cuadraditos que tengamos y vamos a tener una aproximación del volúmen de S.
V\approx \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f(x_{ij},y_{ij})\Delta A
Esta ecuación es la suma doble de Riemann. La doble sumatoria quiere decir que para cada i se hace la sumatoria desde j=1 hasta j=n del producto de f(x,y)\cdot \Delta A. Osea que la sumatoria de j=1 hasa j=m se repite n veces: una para cada i.
A medida que los cuadrados sean mas y mas chicos, y haya mas y mas cuadrados, nos vamos a ir acercadando cada vez mas al valor real del volumen. Para lograr esto podemos calcular la suma cuando m y n tienden a infinito, y esto es la definición de una integral doble.
Definición
Integral Doble
La integral doble de f en el rectángulo R es
\iint_{R} f(x,y) \,dA = \lim_{m,n \to \infty}f(x_{ij}, y_{ij})\Delta A
Integrales iteradas
Evaluar las integrales a partir de su definición es bastante dificil. Lo bueno es que las integrales dobles las podemos expresar como integrales iteradas, que después las podemos evaluar como integrales simples.
Supongamos que f es una función de dos variables, integrable en el rectángulo R=\left[a,b\right]\times \left[c,d\right]. Lo que podemos hacer es algo parecido a lo que hacíamos con las derivadas parciales: integramos primero respecto solo de una de las dos variables, digamos y desde c a d. De esta manera, \int_{c}^{d} f(x,y) \,dy es un número que depende de x (la variable y se fue porque la acabamos de integrar), así que la podemos pensar como una función de x:
H(x)=\int_{c}^{d} f(x,y) \,dy
Y ahora podemos integrar la función H(x) desde a hasta b comom si fuese una integral simple (de hecho, es una integral simple ahora):
\int_{a}^{b} H(x) \,dx
Como sabemos que H(x) es la integral de f(x,y) respecto de y, podemos pensar la integral doble de la siguiente manera:
\int_{a}^{b} H(x) \,dx = \int_{a}^{b} \left[\int_{c}^{d} f(x,y) \,dy\right] \,dx = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) \,dy dx
Es importante escribir siempre bien el orden de los diferenciales. En este caso va primero dy porque dijimos que integrabamos primero respecto a y y luego respecto a x. Sino hubiese quedado al revés.
Ejemplo
Evaluar la siguiente integral:
\int_{0}^{3} \int_{1}^{2} x^2y \,dy dx
Por la notación, sabemos que primero tenemos que integrar en y, y el resultado que obtengamos lo tenemos que integrar en x.
Si f es continua en el rectángulo R=\left\{(x,y) \;/\; a\leq x\leq b \land c\leq y\leq d\right\}, entonces
\iint_{R} f(x,y) \,dA = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) \,dy\,dx = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) \,dx\,dy
Ejemplo
Como la función f(x,y)=x^2y es continua dentro del rectángulo R=\left\{(x,y) \;/\; 0\leq x\leq 3 \land 1\leq y\leq 2\right\}, podemos calcular la integral de f(x,y) en el orden contrario de integración y vamos a obtener el mismo resultado.
La integral en el orden inverso es la siguiente
\begin{aligned}
\int_{1}^{2} \int_{0}^{3} x^2y \,dx\,dy &= \int_{1}^{2} \left[\int_{0}^{3} x^2y \,dx\right] \,dy = \int_{1}^{2} \Bigg[\frac{x^3}{3}y\Bigg]_{0}^{3} \,dy = \int_{1}^{2} 9y \,dy
\end{aligned}
Y ahora integramos el resultado respecto de y.
\int_{1}^{2} 9y \,dy = \Bigg[\frac{9}{2}y^2\Bigg]_{1}^{2} = 18 - \frac{9}{2} = \frac{27}{2}
Ejemplo
Determinar el volúmen del sólido S acotado por el parabolodie elíptico x^2+2y^2+z=16, los planos x=2, e y=2, y los tres planos coordenados.
Lo primero que tenemos que hacer en casos como estos es determinar cuál es la función que nos piden en la consigna que integremos, y sobre qué región tenemos que integrar. La consigna habla de un sólido, y sabemos que cuando integramos estamos calculando el volúmen del sólido que se encuentra entre la función z=f(x,y) y por encima del rectángulo R (Figura 16).
En este caso, la función z=f(x,y) es el paraboloide elíptico y podemos despejar z de la ecuación: z=16-x^2-y^2, y el cuadrado R está dado por los puntos de intersección de los planos coordenados con los planos x=2 e y=2. La región R entonces es R=\left[0,2\right]\times \left[0,2\right].
El valor promedio de una función f de una variable en un intervalo \left[a,b\right] lo podemos calcular como
f_{prom}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) \,dx
y tiene sentido. Si queremos calcular el promedio de algo, por ejemplo la nota promedio de una clase, lo que hacemos es sumar las notas de todos los trabajos que había que entregar, y dividimos esa suma por la cantidad de trabajos. Esta fórmula hace los mismo: la integral suma los resultados de los infinitos puntos en el intervalo \left[a,b\right] y luego divide ese resultado por el intervalo \left[a,b\right].
Para funciones de dos variables, el valor promedio se define de forma similar
f_{prom}=\frac{1}{A(R)}\iint_{R} f(x,y) \,dA
donde A(R) es el área de la región R.
Integrales dobles en regiones generales
Ya aprendimos a integrar funciones dentro de regiones cuadradas. Pero la idea es que podamos integrar regiones D que sean de cualquier forma. Si nos piden integrar f dentro de una región D que no es un rectángulo, vamos a poder definir tres tipos de regiones particulares:
Regiones tipo I
Decimos que una región D en un plano es de tipo I si la podemos definir entre las gráficas de dos funciones continuas de x, es decir
D = \left\{(x,y) \;/\; a\leq x\leq b \land g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\right\}
donde g_{1} y g_{2} son continuas en el intervalo \left[a,b\right].
Imagen sacada de James (2012, 1002). Algunas regiones tipo I.
Teorema
Fubini para regiones tipo I
Sea f(x,y) continua en una región D=\left\{(x,y) \;/\; a\leq x\leq b \land g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\right\}, entonces
\iint_{R} f(x,y) \,dA = \int_{a}^{b} \int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x,y) \,dy dx
Cuando integramos este tipo de regiones, integramos primero respecto a y, y luego respecto a x.
Pasos para determinar los límites de integración:
Graficar la región de integración y dibujar una flecha vertical sobre ella.
La cola de la flecha marca la función g_{1}(x) que será el límite inferior de integación.
La punta de la flecha marca la función g_{2}(x), que será el limite superior de integración.
Si no nos dan el intervalo de integración de la variable x buscamos los puntos de intersección de g_{1}(x)=g_{2}(x). Vamos a obtener dos puntos: el menor marca el inicio del intervalo; el mayor el fin.
Lo podemos pensar como que integramos primero a lo largo de una recta vertical que pasa por D y luego integramos de izquierda a derecha para incluir todas las rectas verticales en D.
Código
from matplotlib.animation import FuncAnimationfrom IPython.display import HTML# Definir las funciones g_1(x) y g_2(x)def g1(x):return x**2def g2(x):return2- x**2# Configurar la figura y el ejefig, ax = plt.subplots()x = np.linspace(-1, 1, 100) # Puntos para dibujar las curvasg1_line, = ax.plot(x, g1(x), 'k-', label='$g_1(x) = x^2$') # Curva inferior (negro)g2_line, = ax.plot(x, g2(x), 'k-', label='$g_2(x) = 2 - x^2$') # Curva superior (negro)ax.set_xlim(-1, 1)ax.set_ylim(-0.5, 2.5)ax.set_xlabel('$x$')ax.set_ylabel('$y$')ax.grid(True)ax.legend()# Inicializar la flecha vertical y el área de rellenoarrow =None# Para la flechafill =None# Para el rellenoline =None# Para la línea vertical del relleno# Función de inicialización para la animacióndef init():global arrow, fill, lineif arrow isnotNone: arrow.remove()if fill isnotNone: fill.remove()if line isnotNone: line.remove() arrow = ax.arrow(0, -0.5, 0, 0, head_width=0.05, head_length=0.1, fc='green', ec='green') line, = ax.plot([], [], 'k-', linewidth=1) # Línea vertical vacíareturn g1_line, g2_line, arrow, line# Función de actualización para la animacióndef update(frame):global arrow, fill, line, g1_line, g2_line# Fase 1: Animación de la flecha (frames 0 a 49)if frame <50: y_pos =-0.5+ (frame /49) *2.5# y desde -0.5 hasta 2if arrow isnotNone: arrow.remove() arrow = ax.arrow(0, -0.5, 0, y_pos - (-0.5), head_width=0.05, head_length=0.1, fc='green', ec='green')# Cambiar color de g1 a azul cuando la flecha toca g1(0) = 0if y_pos >= g1(0) and g1_line.get_color() =='k': g1_line.set_color('blue') ax.legend() # Actualizar leyenda# Cambiar color de g2 a rojo cuando la flecha toca g2(0) = 2if y_pos >= g2(0) and g2_line.get_color() =='k': g2_line.set_color('red') ax.legend() # Actualizar leyendareturn g1_line, g2_line, arrow, line# Pausa de 500 ms (frames 50 a 59, 10 frames a 50 ms cada uno)elif frame <60:return g1_line, g2_line, arrow, line# Fase 2: Relleno progresivo (frames 60 a 159)else:if arrow isnotNone: arrow.remove() arrow =None x_pos =-1+ (frame -60) * (2/100) # Mover x de -1 a 1 y = np.linspace(g1(x_pos), g2(x_pos), 100) # Puntos y entre g1 y g2 x_line = np.full_like(y, x_pos) # x constante para la línea line.set_data(x_line, y)# Rellenar el área desde x=-1 hasta x_pos x_fill = np.linspace(-1, x_pos, 50) y1_fill = g1(x_fill) y2_fill = g2(x_fill)if fill isnotNone: fill.remove() fill = ax.fill_between(x_fill, y1_fill, y2_fill, color='lightblue', alpha=0.5)return g1_line, g2_line, line, fill# Crear la animaciónani = FuncAnimation(fig, update, init_func=init, frames=160, interval=50, blit=False)# Cerrar la figura estáticaplt.close(fig)# Mostrar la animación en HTMLHTML(ani.to_jshtml())
Figura 17: Interpretación de gráfica de integración de funciones en regiones de tipo I (Hecho por GrokAI).
Ejemplo
Usemos la región D definida en la Figura 17 y calculemos el volumen del solido que está por debajo de la función f(x,y)=5 - y^2 - x^2 y por encima de la región D.
Como siempre, primero graficamos la región que vamos a integrar (Figura 17).
Una vez que la graficamos, dibujamos una flecha que vaya desde la parte inferior del gráfico hasta la parte superior. La cola de la flecha nos va a indicar el límite inferior de integración en y, que en este caso es la función g_{1}(x)=x^2. La punta de la flecha nos indica límite superior de integración en y, que vemos que es g_{2}(x)=2-x^2.
Ahora buscamos los puntos de intersección de las funciones g_{1}(x)=g_{2}(x). Esos puntos conforman el intervalo de integración de la variable x. En este caso el intervalo de integración en x es \left[-1,1\right].
La región D nos queda así
D=\begin{cases}
-1\leq x\leq 1\\
x^2\leq y\leq 2-x^2
\end{cases}
Ahora podemos armar la integral usando los límites de integración de D.
\int_{-1}^{1} \int_{x^2}^{2-x^2} 5-y^2-x^2 \,dy dx
Una región es tipo II si existen funciones continuas h_{1}(y) y h_{2}(y) en el intervalo \left[c,d\right] que permiten definir la región de integración D de la siguiente manera:
D=\left\{(x,y) \;/\; h_{1}(y)\leq x\leq h_{2}(y) \land c\leq y\leq d\right\}
Teorema
Fubini para regiones tipo II
Sea f(x,y) continua en una región D=\left\{(x,y) \;/\; a\leq x\leq b \land g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\right\}, entonces
\iint_{R} f(x,y) \,dA = \int_{c}^{d} \int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(u)} f(x,y) \,dx dy
Cuando integramos este tipo de regiones, integramos primero respecto a x, y luego respecto a y.
Los pasos para determinar los límites de integración son:
Graficar la región de integración y dibujar una flecha horizontal sobre ella.
La cola de la flecha marca la función h_{1}(y) que será el límite inferior de integación.
La punta de la flecha marca la función h_{2}(y), que será el limite superior de integración.
Si no nos dan el intervalo de integración de la variable y buscamos los puntos de intersección de h_{1}(y)=h_{2}(y). Vamos a obtener dos puntos: el menor marca el inicio del intervalo; el mayor el fin.
Código
from matplotlib.animation import FuncAnimationfrom IPython.display import HTML# Definir las funciones h_1(y) y h_2(y)def h1(y):return y**2/4def h2(y):return (y +2) /4# Configurar la figura y el ejefig, ax = plt.subplots()y = np.linspace(0, 2, 100) # Puntos para dibujar las curvash2_line, = ax.plot(h2(y), y, 'k-', label='$h_{2}(y) = \\frac{y + 2}{4}$') # Curva derechah1_line, = ax.plot(h1(y), y, 'k-', label='$h_{1}(y) = \\frac{y^2}{4}$') # Curva izquierdaax.set_xlim(-0.1, 1.1)ax.set_ylim(-0.1, 2.1)ax.set_xlabel('$x$')ax.set_ylabel('$y$')ax.grid(True)ax.legend()# Inicializar la flecha horizontal y el área de rellenoarrow =None# Para la flechafill =None# Para el rellenoline =None# Para la línea horizontal del relleno# Función de inicialización para la animacióndef init():global arrow, fill, lineif arrow isnotNone: arrow.remove()if fill isnotNone: fill.remove()if line isnotNone: line.remove() arrow = ax.arrow(0, 1, 0, 0, head_width=0.05, head_length=0.05, fc='green', ec='green') line, = ax.plot([], [], 'k-', linewidth=1) # Línea horizontal vacíareturn h2_line, h1_line, arrow, line# Función de actualización para la animacióndef update(frame):global arrow, fill, line, h2_line, h1_line# Fase 1: Animación de la flecha (frames 0 a 49)if frame <50: x_pos =0+ (frame /49) * h2(1) # x desde 0 a 0.75if arrow isnotNone: arrow.remove() arrow = ax.arrow(0, 1, x_pos, 0, head_width=0.05, head_length=0.05, fc='green', ec='green')# Cambiar color de h1 a rojo cuando la flecha toca h1(1) = 0.25if x_pos >= h1(1) and h1_line.get_color() =='k': h1_line.set_color('red') ax.legend() # Actualizar leyenda# Cambiar color de h2 a azul cuando la flecha toca h2(1) = 0.75if x_pos >= h2(1) and h2_line.get_color() =='k': h2_line.set_color('blue') ax.legend() # Actualizar leyendareturn h2_line, h1_line, arrow, line# Pausa de 500 ms (frames 50 a 59)elif frame <60:return h2_line, h1_line, arrow, line# Fase 2: Relleno progresivo (frames 60 a 159)else:if arrow isnotNone: arrow.remove() arrow =None y_pos = (frame -60) /100*2# Mover y de 0 a 2 x = np.linspace(h1(y_pos), h2(y_pos), 100) # Puntos x entre h1 y h2 y_line = np.full_like(x, y_pos) # y constante para la línea line.set_data(x, y_line)# Rellenar el área desde y=0 hasta y_pos y_fill = np.linspace(0, y_pos, 50) x1_fill = h2(y_fill) x2_fill = h1(y_fill)if fill isnotNone: fill.remove() fill = ax.fill_betweenx(y_fill, x1_fill, x2_fill, color='lightblue', alpha=0.5)return h2_line, h1_line, line, fill# Crear la animaciónani = FuncAnimation(fig, update, init_func=init, frames=160, interval=50, blit=False)# Cerrar la figura estáticaplt.close(fig)# Mostrar la animación en HTMLHTML(ani.to_jshtml())
Figura 18: Interpretación de gráfica de integración de funciones en regiones de tipo II (hecho por GrokAI).
Ejemplo
De nuevo, usemos el ejemplo de la figura anterior para practicar. La consigna es la siguiente:
Determinar el volumen de la cuña sólida que se encuentra bajo la superficie z=16-x^2 - y^2 y arriba de la región R acotada por la curva y=2 \sqrt{x}, la recta y=4x - 2 y el eje x.
Lo primero que hacemos es graficar la región de integración (Figura 18).
Ahora tenemos que dibujar una flecha horizontal que vaya desde la parte mas a la izquierda del gráfico, hasta la parte mas a la derecha.
La cola de la flecha marca el límite inferior de integración en x, que en este caso vemos que es la función h_{1}(x)=\frac{y^2}{4}.
La punta de la flecha marca el límite superior de integración en x, en este caso es h_{2}(y) = \frac{y+2}{4}
Ahora buscamos los puntos de intersección de las curvas. En este caso, la curva x=\frac{y^2}{4} interseca al eje x en el (0,0) y a la curva x=\frac{y+2}{4} en el (1,2). Por otro lado, la curva x=\frac{y+2}{4} interseca al eje x en el punto (1/2,0). Recordemos que este intervalo de integración es para la variable y, así que el intervalo es \left[0,2\right].
La región D es la siguiente
D=\begin{cases}
0\leq y\leq 2\\
\frac{y^2}{4}\leq x\leq \frac{y+2}{4}
\end{cases}
Ahora armamos la integral
\int_{0}^{2} \int_{\frac{y^2}{4}}^{\frac{y+2}{4}} 16 - x^2 - y^2 \,dx dy
La forma de determinar si una región es tipo I o tipo II es haciendo el gráfico y dibujando las flechas. La idea es que la flecha (vertical u horizontal) la podamos dibujar desde cualquier parte del gráfico y siempre entre por una función f_{1} y salga por otra f_{2}.
Por ejemplo, la región de la Figura 19 es una región de tipo I, porque vemos que las flechas horizontales, si bien siempre entran por la función h_{1}(y)=0, cuando salen, a veces lo hacen por la función h_{2}(y)=2(1-y) y otras veces salen por h_{3}(y)=2y.
En cambio, las flechas verticales siempre entran por la función g_{1}(x)=\frac{x}{2} y salen por g_{2}(x)=\frac{1-x}{2}.
Código
# Defino las tres funciones que delimitan la regióndef g1(x):return x/2def g2(x):return1- x/2def g3(x):return np.full_like(x, 0)x = np.linspace(0, 1)y1 = g1(x)y2 = g2(x)y3 = g3(x)# Grafico las tres funcionesplt.figure()plt.plot(x, g1(x), "blue", label="$f_{1}(x)=\\frac{x}{2}$")plt.plot(x, g2(x), "red", label="$f_{2}(x) = \\frac{1 - x}{2}$")plt.plot(g3(x), x, "black", label="$x=0$")# Pinto la región entre las tres funcionesplt.fill_between(x, y1, y2, color="lightblue")# Grafico las flechasplt.arrow(-0.05, 0.8, 0.65, 0, width=0.007, color="indianred", label="$\\to$ tipo I")plt.arrow(-0.05, 0.2, 0.65, 0, width=0.007, color="indianred", label="$\\to$ tipo I")plt.arrow(0.4, 0, 0, 0.9, width=0.007, color="darkgreen", label="$\\to$ tipo II")# Detalles al gráficoplt.xlim(-0.1, 1.1)plt.ylim(-0.1, 1.1)plt.xlabel("x")plt.ylabel("y")plt.legend()plt.grid(True)
Figura 19: Region de tipo I que no puede ser de tipo II.
Cálculo de áreas
Una propiedad importante que tienen las integrales dobles es que si integramos la función constante f(x,y)=1 en una región D obtenemos el área de D.
\iint_{D} 1 \,dA = \iint_{D} \,dA = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \,dy dx = A(D)
Y tiene sentido si lo pensamos un poco. Hasta ahora veníamos pensando al resultado de las integrales dobles como el columen del sólido dispuesto entre la función f(x,y) y la región D. Pero el volumen es el área de un objeto multiplicado por su altura. En el caso de las integrales dobles, el área del sólido sería la región D sobre la cual estamos integrando y la altura son los infinitos valores que nos da la integral en esa región. Pero si decimos que f(x,y)=1 es constante a lo largo y ancho de toda la región D, el volumen de esa región es su área mulpilicada por la altura, que acabamos de decir que es 1. Y el área multiplicada por uno es el mismo área. De esta manera, podemos pensar a la integral de la función constante f(x,y)=1 como el área de la región D.
Ejemplo
Calcular el área de la región D de la Figura 19 delimitada por las funciones x=0, y=\frac{x}{2} e y=\frac{1-x}{2}.
Habiamos dicho que era una región tipo I en la que el límite inferior de integración en y es y=\frac{x}{2}, y el límite superior es y=\frac{1-x}{2}.
Para determinar los extremos de integración en x buscamos las intersecciones entre las rectas y obtenemos que el intervalo es \left[0,1\right].
La región D queda de la siguiente manera
D=\begin{cases}
0 \leq x\leq 1\\
\frac{x}{2} \leq y \leq \frac{1-x}{2}
\end{cases}
Como buscamos el área, la función que tenemos que integrar es f(x,y)=1. La integral es la siguiente
\int_{0}^{2} \int_{x/2}^{(1-x)/2} \,dy dx
Resolvemos
\begin{aligned}
A(D) &= \int_{0}^{2} \int_{x/2}^{(1-x)/2} \,dy dx = \int_{0}^{2} \frac{1-x}{2} - \frac{x}{2} \,dx\\
&= \int_{0}^{2} \frac{1}{2} - x \,dx = \Bigg[\frac{x}{2} - \frac{x^2}{2}\Bigg]_{0}^{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\end{aligned}
El área de la región D es \frac{1}{2}m^2.
Integrales dobles en coordenadas polares
Supongamos que queremos evaluar una integral doble \iint_{R} f(x,y) \,dA, donde R es una de las regiones que aparecen en las figuras de abajo.
Referencias
George B. Thomas, Jr. 2010. Cálculo una variable. 12.ª ed. Pearson Educación.
James, Stewart. 2012. Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas. 8.ª ed. Cengage Learning.
Marsden, Jerrold E., y Anthony J. Tromba. 1991. Cálculo Vectorial. 3.ª ed. Addison-Wesley Iberoamericana, S.A.
Monllor, Ingeniero Migel Omar. 2015. Lecciones de Análisis Matemático II. Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Córdoba.
